有关矩阵多项式及结论总结及进一步探讨

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1、数 统 学 院 毕 业 论 文课题名称：有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨学生姓名 胡旭强 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 09 级数学本科 指导教师 2011 年 12 月 15 日有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨摘要:本文主要系统小结有关矩阵多项式若干结论,这主要包括三个方面：矩阵多项式集合的结构性质，矩阵多项式可逆性的判定总结，以及矩阵多项式的迹的两点注记。其中至于已有的结论则不予证明或给出另一种证明方法，并且本文也给出几个重要的结论。关键词:矩阵多项式 单代数扩域 环 最小多项式 特征多项式0 引言定义 1：设 是复数域 的一个子域，记 表示在 上关于 的所有多PCPxx

2、项式全体，记 表示 的次数，记 表示 与 的最大()fx()f(),fg()fg公因子(其中 )。符号“ ”表示证明结束。,gA定义 2：记 表示 上 阶矩阵构成的矩阵集合。取 ，记(nMn()nAMP为 的最小多项式（其次数 ） ，记 为 的特征多()Agxm0()(1)niAnifxa项式。 表示 的单位矩阵。记 为 中一切数量矩阵的集合，E()nPnDPn即 。 表示矩阵 的行列式值。()nDm|a|()|fA()f定义 3： , 则 称为 的多项式，()n0,kikigxa0,kiigA显然 若为 矩阵，则 无意义。记 ，A,()()|()fxP则 ，故 有无限多个元素。()nP()P

3、定义 4：记 表示以 中元素为系数关于 的所有多项式全体。nDxnmx记 。()dmp()|Mx下面一切符号从上，除非有特别说明本文第一部分主要探讨 代数结构和空间结构,第二部分从另一角度推()PA导矩阵多项式可逆性的判定定理同时也给出本人的一个新判定定理,第三部分则解决了文10中的两个未解决问题1 有关 结构性质探讨()PA显然 ，并且 是 上 维线性空间，下面就先探讨()()nPAMn2的空间结构： ()PA引理 1.1： 关于矩阵加法和乘法构成域。()nDmP证明：由数量矩阵加法和乘法性质以及按照域的定义即可得，事实上它与数域 同构。引理 1.2： 是域 上的一个代数元，从面 是 上的一

4、A()n ()dmpA()nDP个单代数扩域，其中 在 上的极小多项式就是矩阵 的最小多项式。 P证明：由矩阵 最小多项式定义、代数元定义以及单代数扩域定义即可得。引理 1.3： 中任一元都可以唯一地表成 ， （()dmpA10)(miiiEAa）的形式,这里 是 的次数，要把这样的两个多项式(),iniEDmPa()gx与 相加，只要把相应的系数相加； 与 的乘积等于 ，()fAg f()gA()r这里 是用 除 所得余式。rxA()fxg这里 ，并且 为 的极小多项式。(),f,r()nDP()Ax证明：这是1中第 156 页定理 2 的直接推论。引理 1.4： 是 上的 次扩域，从而 是

5、 上的()dmp()nm()dp()nDmP维线性空间，并且其一组基为 。1,E证明：这是文1中第 162 页定理 2 直接推论。从集合关系来看： ，而 ,因此由引理 1.3()()PAdp(),aAE及 1.4 得：定理 1.1： 是 上的 维线性空间，其一组基为 ；并且()m1,mA中任一元都可以唯一地表成 ， 的形式,这里 是 的次数，()PA10iiiP()gx要把这样的两个多项式 与 相加，只要把相应的系数相加； 与()fAg f的乘积等于 ，这里 是用 除 所得余式.。()grrx()A()fxg事实上定理 1 可用直接用带余除法，矩阵多项式定义，以及矩阵最小多项式性质证得，但本文

6、这样推导，主要是突出近世代数的知识在高等代数中的具体应用。显然 的维数是 ，因此我们有：()PA,0mn定理 1.2： 是 中 维真子空间（ ） 。()MP2n显然当 时： = 。1nn另一方面，我们知道 关于矩阵加法和乘法构成环。因此下而探讨()代数结构：()PA引理 1.5： 是 的交换子环。()PA()nM这是文11的一个引理。引理 1.6： 从而 是一个域。()1Agx()()nDmP()A证明：先证明充分性：由 ，由定理 1.1 知 中任一元素都是1AgxP数量阵，故： 。显然 。故 。由引()()nP()n()nDmA理 1.1，知从而 是一个域。从定理 1.1 取可以看出：引理

7、1.7:取 则可假定 ，设 则按定理(),gA()gx10()miihxb1.1 乘法法则，由带余除法性质，可记，101()(,)miimihbA其中 ， 的值由 的系数和 的最小多项式决定的已110(,)minibab i)gx知值.由引理 1.7 知：令 ，则可得关于 的齐次线性101(,)0iimi A 01,mb方程组：()011,(,)0mb 令 ，则可得关于 的非齐次线性方程组:101(,)miimibAE 1,m()011(,),mb 引理 1.8：当 ，则 中存在非零奇异阵，并且任何非零不可()2Agx()PA逆阵就是 中零因子。()P证明：先证命题前半部分： ，知 ，若 ，命

8、()2Agx,aEP0A题已成立。若 ，显然 的特征值非零，取 的一个特征值 ，令0 则 为 特征根，故 ，但 ，否则与(),fx()f()0f()0f发生矛盾。由此可见 就是 中要找的一个非零奇异阵。2AgP下证命题后半部分：在引理 1.7 中令： ，101(,)miimibA，记方程()的系数阵为 .则 。()0,()B不然 ，在引理 1.7 中令 ，则方程()有唯一的0B101(,)miimibAE非零解。从而有 使得 ，这与 不可逆矛盾。()hA()ghE()g由 ，知方程()有非零解，从而有 满足 。0 0h()0ghA这说明了任何非零不可逆阵就是 中零因子。()PA推论 1： 是

9、中零因子 是非零奇异。()fPf由引理 1.6 及 1.7，立即可得：定理 1.3： 是一个域； 是有零因()1Agx()()2Agx()P子的交换子环。引理 1.8： 可逆 （或 ）的常数项不为 0。()f()Agx引理 1.9：设 ,对任意 ,若 可逆,则nMPfP()f（这是文4最早得出，本文这里给出另外简单证法。 ）1()fAP证明：由引理 1.8，可记 则有() 00(1,),mifAnigxa令100(,minixxa01(,),imihxa注意到： ，即知 即为 的逆。()fAg()f)fA推论 1：数域 上的 阶 循环阵的逆也是 循环阵（分析见文4）Prr推论 2：若 可逆，则

10、 的逆矩阵 和 的伴随矩阵 都属于 ，并1*()PA且记：，则 ，0()(1)niAnifxa110()niniAa。*1ii（此结论最早在2中给出，至于后半部分证明可见文2，显然 和1A也可由 的系数表出）*A()Agx由推论 2 本文可进一步指出：推论 3： 。*()P证明：令 ，则存在 使 可逆，记 的特征多项式为：E()A()且()0()()1niAinfxa0()(1)niAnifxa显然 =0 时 ，ii由引理 2 知： *11()()()niinAAa（1）记 ，*()()ijnf1)1()niiijng由（1）式知 ； ,2ijijg（2）由于 与 都是多项式，且有无穷多个 使

11、（2）式成立，从()ijf()ij 而（2）式是恒等式，因此（1）式也是恒等式，特别 =0 代入（1）式即得。*1)1()niniAAa由引理 1.9 立即可得：定理 1.4：记 它关于矩阵乘法构成可交*()|()0,()PffxP换群。这里补充一个很有意思的定理，详细证明见文9：记 的中心化子 则有： A()()|nCABMAB定理1.5： 是 阶矩阵 的 标准形JnJorda121 1,iiin iTJ 其中 是 阶矩阵， 那么 的充分必要条件是当 i j 时 , iJin1,.it ()CAP，即 是属于 有唯一 块。ijiiorda2 矩阵多项式可逆判定与求法总结文6有这样的例子：例

12、1：已知矩阵 满足： 求 的逆矩阵A32,E2BAE解：设 ,利用 可得，2Babc0,12()()(42)EaabcabcE解非齐次线性方程组 可得 即得21cb3,0102340BAE这种解法并不像文6所说得需要技巧，它也是带有机械性的，其理论依据就是：定理 2.1： 可逆 方程组()有唯一解。()gA（其中 符号从引理 1.7）证明：充分性显然，这里证必要性。已知 可逆，知方程组()肯定有解，假设方程组()有两个解，即存()g在 有 ， ,从而: ，,hAj()hjA()()ghAjE()0hAj这说明 为 的最小多项式，其次数小于 这是一个矛盾()mAgm同，故方程组只有唯一解。定理

13、2.1 说明：只要用初等算术及带余除法即可解决这类问题，当然计算会比较繁琐些！例 1 中设 的依据是： 的最小多项式为：12BaAbcEA，而 表为 的多项式的次数应小于 。3()Agx ()Agx应该指出的是，在例 1 中如果只知道 的零化多项式，而且不知最小多项式，那么也可以按例子 1 的方法来设，只不过其次数要小于零化多项式的次数，同时也得到方程组()，但这时方程组的解不唯一。下面给出从矩阵秩的角度推导出矩阵多项式可逆判定，而不用特征值性质进行推导：定理 2.2： 记 ， ，且 则(),fxgPx(),()dfxg()0fA。rankArank证明：由多项式理论知：有 、 、 满足：()

14、uv()hP，()dxfgx()xdh则有 ， ，注意到 即知：()()AfA()A()0fA( ()()rankgrankdhrankdrankfugvgv显然若 ，则 ，从而 可逆。因此有：()1dx)E推论 1： ，若 则 可逆。,()1fPxfx()0fA()这是文7主要结果之一，文中已指出推论 1 中的 仅是充分,1xg条件。事实上由文11中的定理 2（但文11不给出证明）即：定理 2.3：设 ，则(),1fxg()0fg()()rankfrAn也可得到推论 1:取 即得 即 可逆。下面给出 2.3()0fA()rankgA()本人证明。证明： 得： 、 满足：(),1fxg()uxvPx。1)fuv()()()()nrakfAArankfuArankgvA)rnfg即 ()()akf显然 当且仅当()0fgrankrgnA定理 2.4： , 则 可逆,xPx()fA()g(),1fx证明：由推论 1 知只需证其必要性：令 ，则()()()dfugv()()()dfuAv由定理 2.2 可知： 可逆。从而d11()()()()EfAA由引理 1.9 可知 ，不妨设