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1、 关于方程实数根的研究摘要：代数方程代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、 Kronecker 定理方面判别代数方程根的存在性。总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读在数学学习中，常常要一些方程问题。方程主要包括线性方程和非线性方程。线性方程是指因变量与自变量成线性关系。非线性方程就是指因变量和自变量的之间的关系不是线性
2、关系，这类的方程很多，例如平方关系、指数关系、对数关系、三角函数关系等等。对于非线性方程可以分为两类，一类是多项式方程，这类方程的求解已经有了比较成熟的理论和方法，另一类是非多项式方程，求解这类方程往往很难得到精确解，是现在数学领域中的一个重点研究方向。本文针对非线性方程求解其实数根进行研究，在总结前人研究成果的基础上通过连续函数的性质定理、不动点定理、函数的性态等理论和方法研究其实数根的存在性和唯一性。关键字：方程 实数根 存在性 唯一性 第一部分 绪论1、问题背景 对于一元二次方程求解问题。2、问题提出中学数学中曾出现过一元二次方程的求根问题。我们知道，由判别式可以判断该方程是否存在实数根
3、，即当 时，该方acb42 042acb程有两个不相等的实数根，当 时方程有两个相等的实根，042acb当 时方程没有实根。那么一元三次方程方的实数根是否存042acb在呢？如果存在是否也同一元二次方程有判别式和求根公式呢？如果在向前一步，一元 N 次方程也不是也具有这样的答案？推广到更一般的方程 ，例如： 它的实数根又是否存在呢？0)(xf 0esinx3、研究现状及其意义中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。我们知道，二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。在中世纪，阿拉伯数学家
4、又将二次方程的理论统化。而三、四次方程的求解曾在文艺复兴时期的意大利引起数学家之间的激烈挑战并获得决。三 、 四 次 代 数 方 程 的 解 被 发 现 之 后 ， 约 在 550年 开 始 ， 代 数 学 上 最 突 出 的 有两个问题：1. 任何一个几次代数方程是否一定有根？有多少个根？2. 五次和五次以上的代数方程是否能解？怎样去解？前一个问题吸引了许多数学家，欧拉也研究过。经过几代数学家的努力，用了两百多年时间，约在 1748 年，这个问题被年仅 29 岁的法国青年数学家达朗贝尔证明了。他的结论是一个 n 次代数方程至少有一个根。后人称为代数基本定理。几十年后, 德国数学家高斯发现达贝
5、尔的证明缺乏严密性。在 1799 年高斯给出了这个定理的证明。因此，有时也把这个定理叫达朗贝尔 高斯定理。被誉称为数学皇子的高斯，辈子都没有放弃对代数基本定理的研究，他一生中给出了这个定理的四种不同证明方法，而只有一种是纯代数的。人们很难想象，在技术上为了解一般五次方程，不知耗去了多少枉然的精力，可以说这个问题是人类智慧的一个严重挑战，经过三百多年时间，几代数学家的接力奋斗，直到 19 世纪初期才被解决。第二部分 方程实数根的存在性和唯一性一、证明方程有实数根的存在性的主要方法1、利用闭区间上连续函数的介值定理和零点存在定理。零点存在定理：若 f(x)在a,b上连续，f(a)和 f(b)异号，
6、即 f(a)f(b)0分析：证法一：利用零点存在定理令函数 ，显然， 在区间 内连续，且bxfsin)( )(xfba,0， 。当 时，如 ，0bf baafsin1) )(f 2kbak 为正整数，则 就是原方程的一个正根。当 时，有 0)(f，故 。则由闭区间上连续函数的零点定理即可知0sin1ba0)(baf道在开区间 内至少存在一正根 。, 综上所知本题的结论成立。证法二：利用介值定理令函数 ，则考虑方程 。显然 是闭区间上xFsin)(0,)(bxF)(xF的连续函数，而且严格单调增加，故 在闭区间 上的最ba,0 )(ba,0小值为 ,最大值为 。0)( abasin1)(当 时，
7、 则 是原方程的一个正根。在F,Fb当 时， ，即常数 b 介于 在sin1ba )0()(F)(xF上的最小值和最大值之间，有闭区间上连续函数的介值定理知，,0在 内至少存在一点 使得 成立。综上知命题结论bFsin)(成立。2、利用微分中值定理，首先3、结合方程所确定的函数的性态讨论利用导数对函数做性态分析，结合闭区间上连续函数的零点存在定理和介值定理异界费马定理等研究方程的实根，可以对方程的实根的存在性及其个数的讨论比较直观。例如函数 在闭区间 上连续，且)(xfba,在 上的唯一的最小值 m 在点 处取到，即 ，而)(xfba, bac,)(cfm又 在 内严格单调减少，在 内严格单调
8、0limx ,0)(lixfx)(xf, ,增加，则当 m=0 时，函数 仅有一个零点，当 m0 时 没有零点。又如，若需确定方程 的实)(xf 0根个数，可先求出函数 的驻点与其导数不存在的点，以确定函数严格单调增加或减少的区间。)(xf例 2 试确定实常数 k 的取值范围，使方程 有实根，并确定实根kxe的个数。分析：证明：4、结合积分的性质讨论5、利用不动点定理2、证明方程实数根在某区间内唯一性采用的1、利用方程所确定的函数在该区间的单调性结合介值定理和零点存在定理证明2、采用反反证法3、利用 R0ll 定理推论的逆命题进行证明。第三部分 应用实例中学数学中曾出现过一元二次方程的求根问题。我们知道，由判别式 可以判断该acb42方程是否存在实数根，即当 时，该方程有两个不相等的实数根，当042acb时方程有两个相等的实根，当 时方程没有实根。那么一元三042acb 042acb次方程方的实数根是否存在呢？如果存在是否也同一元二次方程有判别式和求根公式呢？如果在向前一步，一元 N 次方程也不是也具有这样的答案？推广到更一般的方程 ，例如：0)(xf它的实数根又是否存在呢？oexsin
