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1、http:/ 至少有两种重要的结构：拓扑结构和代数结构（线性空间结构）。函数连续性只涉及第一种，而可微性则涉及两种（？拓扑微分拓扑，拓扑群李群）因为微分 Df(x)=A 的定义牵涉到线性运算和极限概念：f(x+h)-f(x)-Ah=o(|h|)可微性的概念可以推广到有拓扑结构和线性代数结构这两种结构的其他空间。现代微分概念源于非线性问题的局部线性化。半球面是可以摊成平面区域的要把地球表面画成地图，就非得把球面“撕破”不可http:/ http:/ 同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的 要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续
2、形变，所得到的空 间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它 压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都 没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里 “长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再 “长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还 是跟原来的同伦等价。“终结者 2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体 没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。 研究拓扑的一种方法是把拓扑问题转化为代数问题。最常见的例子是计算一个拓 扑空间各个维数的
3、同调群(homology group)和同伦群(homotopy group)，然后根据这 些群的性质推断拓扑空间的性质。一维同伦群又叫做基本群(fundamental group)。如 果空间的基本群是只包含单位元素的平凡群，就称它是单连通的(simply-connected)。法国数学会组织的系列讲座 给定映射 A-B: 映上的满射 满同态映射(对任意 B 中的 b,存在 A 中的 a 使 a-b) 1-1 的单射 单一同态映射(a1!=a2=b1!=b2) 1-1 映射 双射 同构映射 什么是环？同余？理想？引入环的作用：环比域更一般，对乘法不要求成为交换群。理想是基于环定义的一个概念（
4、具体定义技术性比较强）。非结合代数是环论的一个推广。?数学家发现，几乎对任何代数课题（矩阵、多元二次型的代数、超数系、同余式、多项式方程的解的理论）和出现的问题，都可能用任何一种抽象结构去代替实数系和复数系；同样，对于数论的问题，可以用以个环去代替整数；甚至可以考虑系数属于任意域的函数和幂级数。Wedderburn 推广了线性结合代数（超复数系）的工作，用任何域代替实数系或复数系；我们也可以用一个环代替一个域；系数属于任意域或有限域的方程论也被研究；同样研究了系数属于任意域的二次型。数域都是数环，但数环可能不是数域。 代数是线性空间与环的结合 幺环 R 上的记号 x 的多项式 f（x） 幺环
5、R 上 x 的多项式环 Rx=f（x），R 是 Rx的子环 系数域 F 是多项式环 Fx的子集 http:/zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93 向量空間是一個IF/I-模 IV/I的成員叫作I向量(/I模元素I)/I而IF/I的成員叫作I純量(/I環元素I)/I 若IF/I是實數域BR/B，IV/I稱為B實數向量空間/B. 若IF/I是複數域BC/B，IV/I稱為B複數向量空間/B. 若IF/I是有限域，IV/I稱為B有限域向量空間/B 對一般域 IF/I，IV/I稱為IF/I-B向量空間/B http:/zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1 模(加群 M)同向量空間一樣是加法阿貝爾群 F-向量空间 V 是 F-模 第一讲 代数结构 引言：代数的粗略定义 运算的概念：内合成法则、外合成法则 内合成法则的各种性质：结合性、交换性、中性元、逆元 由 1 个或多个合成法则定义的代数结构：群、环、体 同构概念： 从已有的代数对象构造新的代数对象： 商结构： 与等价关系相容的合成法则：
