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1、1函数与方程的思想（一）知识点：函数与方程的思想就是从问题中的数量关系分析入手，运用数学语言将问题描述转化为数学模型：函数，方程，不等式（组） ，然后通过函数特性，图象或解方程，不等式（组）获得问题的解。有利于动静结合，定变转化自然，开阔思想，优化求解策略，提高速度与准确率，拓宽问题的适应性。一基本训练1 关于 x 的方程(x 21) 2|x 21|k0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根.其中假命题的个数是( A ).A. 0B
2、. C. D. 2 已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是( C). . 5 . 4 . 3 . 23 若不等式 x2ax 10 对于一切 x(，成立，则 a 的最小值是(C).12 . . . . 524 设 f(x)，g(x)分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且 g()，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是( D). . (3，0)(3，) . (3，0)(0，3) . (，)(3，) . (，)(，)5 对任意实数 k，直线：y kxb 与椭圆 ：(02)恒有公共点，则 b取值范围是 .6 关于
3、 x 的不等式 x 3 xa 2a30，当 0x1 时恒成立，则实数 a 的取值范围为 .例 1 若方程 上有解，求 a 的取值范围2cosin,2x在例 2 设不等式 ，对满足 的一切实数 m 都成立，求 x 的取值范围21()xm22例 3 若关于 x 的方程 有实数解，求 a 的取值范围4210xxa例 4 已知不等式 ，对于一切大于 1 的自1112.log()2323ann然数都成立，求实数 a 的取值范围例 5 已知抛物线 x24y 的焦点为 ， 、 是抛物线上的两动点，且 (0).过A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.(1)证明 为定值；(2)设ABM 的面积为 S，
4、写出 Sf ()的表达式，并求 S 的最小值.3同步练习1. 函数 f(x)定义域为 ，且 x1，已知 f(x1)为奇函数，当 x1 时，f(x)2x 2x1，那么当 x1 时，f(x)的递减区间为(C). . ，) . (， . ，) . (， 2. 已知 f(x) asinxb (a，bR)，且 f(lglog310)5，则 f(lglg3)的值是(C). . . . . 3. 设 (x，y)是椭圆 x24y 2上的一个动点，定点 (，)，则| |2 的最大值是(D). . . . . 234. 已知 x、yR，且 2x3 y2 y 3 x ，那么(B). . xy0 . xy0 . xy
5、0 . xy05 设 a0，对于函数 f(x) (0x)，下列结论正确的是(B). . 有最大值而无最小值 . 有最小值而无最大值C . 有最大值且有最小值 . 既无最大值又无最小值6. 方程 lgxx3 的解所在的区间为_B_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,)7. f(x) 定义在 R 上的函数，f(x 1),当 x2,1时，f(x)x,则 f(3.5)为 ( B )A.0.5 B.1.5 C .1.5 D.3.58 如果 y1sin 2xmcosx 的最小值为，则 m 的值为 .9 关于 x 的不等式 x 3 xa 2a30，当 0x1 时恒成立，则实数
6、 a 的取值范围为 .(，)(，)10. 设 f(x)是偶函数，g(x )是奇函数，且 f(x)g(x)ex 1，则 f(x) 11. 已知函数 f(x)log a (2a) x对任意 x ，都有意义，则实数 a 的取12值范围是_.(， )1412. 设集合 Ax |4x2x2a0，xR.()若 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 ；()若对于任意 aB，不等式 x26x a(x2)恒成立，求 x 的取值范围.413 已知二次函数 f(x)ax 2bx(a，b 为常数，且 a0)满足条件：f(x)f(x)且方程 f(x)x 有等根.()求 f(x)的解析式；()是否存在实数 m，n (m
7、n)，使 f(x)定义域和值域分别为 m，n和4m，4n ，如果存在，求出 m、n 的值；如果不存在，说明理由 .14 已知函数 f(x) (a0，x0).1a 1x(1)求证：f(x )在(0，)上是增函数；(2)若 f(x) 2x 在(0，)上恒成立，求 a 的取值范围；(3)若 f(x)在m，n上的值域是m ，n(m n)，求 a 的取值范围.15 已知数列a n各项都是正数，且满足 a01，a n1 an(a n)，nN.证明：12ana n1 2，nN.512，(1)a0 或 a4，即 a|a0 或 a4(2)只须x20g 5 x 2.13 m2，n0.14(3)由()f(x )在定
8、义域上是增函数.mf(m)，nf(n)，即 m2 m10，n 2 n10.故方程 x2 x10有两个不相等的正根 m，n，注意到 mn，则只需要 ( )240，由于 a0，则 0a .1215 方法：把 an1 an(4a n)，nN.看作一个函数 f(x) x(4x )，由此启发得12 12ak1 ak(4a k) (a k2) 2 (ak2) 222.12 12 12于是 ak2 ，又因为 ak 1a k 2a ka k ak(ak2)0，所以 ak1 ak，12 12所以有 ana n1 2，nN；方法：用数学归纳法证明：当 n1 时，a 01，a 1 a0(4a 0) ，12 32 0a 0a 12；假设 nk 时有 ak1 a k2 成立，令 f(x) x(4x)，f(x)在，上单调递增，12所以由假设有：f(a k1 )f (ak)f (2)，即 ak1 (4a k1 ) ak(4a k) 2()，12 12 12即当 nk1 时 aka k1 2 成立，所以对一切 nN，有 aka k1 2.
