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1、1北京市东城区普通校 2013 届高三第二学期联考数学（理科） 命题校：北京 27 中学 2013 年 3 月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷(选择题，共 40 分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知平面向量 , , 且 , 则 的值为（ ）(12)a()mbab（A） （B） （C） （D ）442极坐标方程 化为直角坐标方程是（ ）4cos（A） （B） 2()xy2xy（C） （D ） 2
2、(1)()43平面 平面 的一个充分条件是（ ） （A）存在一条直线 a， ， （B）存在一条直线 ， ， （C）存在两条平行直线 bab， ， ， ， ， （D）存在两条异面直线 a， ， ， ， ， 4. 执行如图所示的程序，输出的结果为 20，则判断框中应填入的条件为（ ）（A） （B）2a 3a（C） （D）4 5第 4 题图5. 如图，已知 是 的一条弦，点 为 上一点， ABOPAB，PCO ABCOP2xyO 21-1交 于 ，若 ， ，则 的长是（ ）PCO4AP2BPC（A） （B） （C） （D） 第 5 题图3 26已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )s
3、in()x第 6 题图新(A) (B) 4sin(2)5yx31sin(2)5yx(C) (D) 147. 设 若 的最小值为( )0,.ab3abab是 与 的 等 比 中 项 ， 则(A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 148.对实数 与 ，定义新运算“ ”： 设函数ab,.ba若函数 的零点恰有两个，则实数 的取值22(),.fxxR()yfxcc范围是（ ）(A) (B) 3,21,3,21,4(C) (D) ,4第卷(非选择题，共 110 分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 在 的展开式中，含 1x项的系数是_.（用数字作答）6)1(x ,34
4、0 50 60 70 80 90 分数(分)频 率组 距0.0050.0100.0200.030a10由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.11.从某校高三学生中随机抽取 100 名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）则图中 a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为 . 第 11 题图12.已知区域 ， ，1,(,)0,yx1,(,)0yxMx向区域 内随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 . P13如图， 和 分别是双曲线 1F221(0)xyabb，的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与 ABO1F该双曲线左支的两个交点，且 是等
5、边三角形，则双2AB曲线的离心率为 . 第 13 题图14.设 S 为复数集 C 的非空子集 .若对任意 ，都有 ， x,ySxy,S则称 S 为封闭集。下列命题：集合 Sz|z= abi（ 为整数，为虚数单位）为封闭集；,b若 S 为封闭集，则一定有 ；0S封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 的任意集合 也是封闭集.TCT其中真命题是 （写出所有真命题的序号）Ay 2F1FBO x4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 15. （本小题满分 13 分）在 中，角 的对边分别为 ， ， 的面积为 .ABC, ,3abcC5ABC103（）求 ， 的值；bc（）求 的值.)3o
6、s(16.（本小题满分13分）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求()摸出3个白球的概率；()摸出至少两个白球的概率；（）若将摸出至少两个白球记为 1 分，则一个人有放回地摸 2 次，求得分 X 的分布列及数学期望。17.（本小题满分 14 分）已知几何体 ABCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积 V 的大小;（）求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；（）试探究在棱 DE 上是否存在点 Q，使得AQ BQ，若存在，求出 D
7、Q 的长，不存在说明理由.18.（本小题满分 13 分）侧视图俯视图正视图144 45已知函数 xaxxf ln)1(21)()若 ，求函数 在（1， ）处的切线方程；af(f()讨论函数 的单调区间)(xf19.（本小题共 14 分）已知椭圆 的离心率为)0(12bayx .36（I）若原点到直线 的距离为 求椭圆的方程；,2（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为 的直线和椭圆交于 A，B 两点.45（i）当 ，求 b 的值；3|AB（ii）对于椭圆上任一点 M，若 ，求实数 满足的关系式.OA,20. （本小题满分 13 分）设 ， ， 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，对于满足 的整数
8、，数列1a20 190kk， ， 由 确定。记1b2020kna时， 当 时， 当 0-nk21nbaM()当 时，求 M 的值；k()求 M 的最小值及相应的 k 的值6高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B二.填空题9. 15 10. 72 11. 0.035,64.5 12. 13. 14. 123三.解答题15（本小题满分 13 分）在 中，角 的对边分别为 ， ， 的面积为 .ABC, ,3abcC5ABC103（）求 ， 的值；bc（）求 的值.)3os
9、(解：（）由已知， ， ，C5a因为 ， 1sin2ABSb即 ，30解得 .8由余弦定理可得: ,264580cos493c所以 . .7 分7（）由（）有 ,719osB由于 B 是三角形的内角，易知 ,34cs1sin2所以 sino)3co( B. 4317234.13 分716.（本小题满分13分）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求()摸出3个白球的概率；()摸出至少两个白球的概率；（）若将摸出至少两个白球记为 1 分，则一个人又放回地摸 2 次，求得分 X 的分布列及数学期望。解：（I）设“
10、在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 (0,13),iA则235().CPA.3 分() 设“至少两个白球”为事件 B，则 23，又2132553() ,PAC且 A2，A3 互斥，所以 2317()().50PBA.6 分（） X 的所有可能取值为 0，1，2.21279(0)(),05749()(.PCX所以 X 的分布列是X 0 1 2P 912504910X 的数学期望497() .01E.13 分17.（本小题满分 14 分）侧视图俯视图正视图144 48已知几何体 ABCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体
11、的体积 V 的大小 ;（2）求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；（3）试探究在棱 DE 上是否存在点 Q，使得AQ BQ，若存在，求出 DQ 的长，不存在说明理由.解：（1）由该几何体的三视图知 AC面 BED,且 EC=BC=AC=4 ，BD=1， 1(4)102BCEDS梯 形 433V梯 形 即该几何体的体积 V 为1103BCEDA梯 形 -4 分（2）以 C 为原点，以 CA， CB，CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系则 A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E （0，0，4） (,3)(,0)， 2cos,5DEAB异面直线 DE 与 AB
12、所成的角的余弦值为 25-4 分（3） 点 Q 在棱 DE 上，存在 使得)10(EQ)13,40(,(, DEBB同理 )13,4,(AQ,即0B 0)13()4()( 2 ，满足题设的点 Q 存在， DQ 的长为 1 -14 分5118.（本小题满分 13 分）zyxABCDE9已知函数 xaxxf ln)1(21)()若 ，求函数 在（1， ）处的切线方程；af(f()讨论函数 的单调区间)(xf解：（1）当 时，2xxfln2xf1)(， 230)(f切线方程为 4 分y(2) 定义域 ），（ 0xaxaxaxf )1)()1(1)( 2 令 ，解得 ，0f12当 ， 恒成立，则 是函数的单调递增区间时2a)(xf ），（ 0当 时， ， 在区间（0,1）和（ ）上， ；在（ ）区间上 ，,1a()fx1,a()0fx故 的单调递增区间是（0,1）和（ ），单调递减区间是（ ）()fx ,1a1,a当 时，在区间（0, ）和（ ）上， ；在（ ）区间21()f上 ，故 的单调递增区间是（0, ）和（ ），单调递减区间是（()0f()fx ,1）,a当 时， ，在区间（0,1）上 ，在区间（ ）上，1a()0fx,，故 的单调递增区间是（ ），单调递减区间是（0,1）。 ()fx
