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1、12012 年长宁区高三数学质量检测试卷一、填空题：（本大题满分 56 分，每小题 4 分）本大题共有 14 小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。1、已知向量 ，若向量 与 垂直，则 等于)1,(),2(bmaabm._2、已知 = 3cot2则 sin3、不等式 的解集为1x._4、 （理）已知球的表面积为 20 ，则该球的体积为 _ .2cm3cm（文）函数 的反函数为 ，则)(xfy1)(log2xy)(xf_5、 （理）函数 的反函数为 ，则0)(f._（文）设复数 是实系数一元二次方程 的一个虚数根，则i22qp._pq6、 （
2、理）圆的极坐标方程为 ，则该圆的半径为_sinco（文）在等差数列 中， ，公差不为零，且 恰好是某等比数列的前三项，na1 13,a那么该等比数列公比的值等于_.7、 （理）二项式 的展开式中 的系数为 ，则实数 等于_ .5xm3x0m（文）设定义域为 R 的函数 则函数 的零点为_ .,2|,lg)(f )(xf8、 （理）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，ABC, ,abc22abc，则 的面积等于 _ 4且（文）已知实数 满足约束条件 则 的最大值等于_ ,xy20,351,xy21xyz9、 （理）如图，在半径为 r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内 切圆，又在此内切圆内作
3、内 接正六边形，如此无限继续下去，设 为前 n 个圆的面积之和，则 = slimns 2（文）二项式 的展开式中 的系数为 ，则实数5xm3x10等于_ .10、 （理）已知关于 的实系数一元二次方程 |2xz有实数根，则 的最小值为_ .)(Cz|1|iz（文）如图，在半径为 r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 为前 n 个圆的面积之和，则 = slimns 11、 （理）对于定义在 R 上的函数 ，有下述命题：)(xf若 是奇函数，则 的图象关于点 A（1，0）对称)(xf 1若函数 的图象关于直线 对称，则 为偶函数1)(x
4、f若对 ，有 2 是 的一个周期为则),()(xfxf函数 的图象关于直线 对称.yy与 其中正确的命题是_ .（写出所有正确命题的序号）（文）已知偶函数 ()fxR满足 ()(fxf，且 0,1x时， ()fx，则方程 3()log|fx根的个数是_ .12、从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取一个2,1Ak2,B数记为 ，则直线 不经过第三象限的概率为 _ .bbkxy13、 （理）设定义域为 R 的函数 若关于 x 的函数,02|,lg)(xf的零点的个数为_ 1)(32xffy（文）已知直线 :460ly和直线 ，抛物线 24yx上一动点 P到直线:2l1l和 直线 2l
5、的距离之和的最小值是 .14、如图,在三棱锥 PABC中, P、 B、 C两两垂直,且3,1PA.设 M是底面 内一点,定义()fMmnp,其中 、 n、 p分别是三棱锥 PA、 三棱锥 、三棱锥 的体积.若 1(),)2fxy,且 18axy恒成立,则正实数 a的最小值为_.3二、选择题：（本大题 20 分）本大题共有 4 小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分， 否则一律得零分。15、设 ，则“ ”是“ ”的 ( ) Rx1|x3xA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16、如图给出的是计算
6、 的一个程序框图，1359S其中判断框内应填入的条件是 ( )A 10iB C 9iD17、 （理）已知向量 , ， ,则(20)OB2|CA(2)O与 夹角的最小值和最大值依次是 （ ）AA. B. C. D.4,015,15,15（文）在 BC中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足 ，则科网PMA2()PA等于 ( )A. 49 B. 43 C. 43 D. 49 18、 （理）已知有相同两焦点 F1、F 2 的椭圆 和双曲线)1(2myx，P 是它们的一个交点，则 F 1PF2 的形状是 （ )0(12nyx）A锐角三角 形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 变化
7、而变化nm,4（文）已知有相同两焦点 F1、F 2 的椭圆 和双曲线 ， 是它们的152yx132yxP一个交点， 则 的形状是 （ ）21PA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.19、 （本题满分 12 分）（理）小明购买一种叫做“买必赢”的彩票，每注售价 10 元，中奖的概率为 2，如果每注奖的奖金为 300 元，那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元？（文）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，ABC, ,abc22abc，求 的面积4且20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小
8、题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。（理）如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD， E，F 分别是 BC，PC 的中点。ABDPA2,（1） 求异面直线 PB 与 AC 所成的角的余弦值；（2） 求三棱锥 的体积。EF（文）棱锥的底面是正三角形，边长为 1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于 ，设 为 中点。3DBC（1）求这个棱锥的侧面积和体积；（2）求异面直线 与 所成角的大小.PA21、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。已知数列 na是各项均不为 0
9、的等差数列，公差为 d， nS为其前 项和，且满足PA DCB EFPAB CD521naS， *N数列 nb满足 ， nT为数列 nb的前 n 项和1na(1)求 1、 d和 nT；(2)（理）若对任意的 *，不等式 8()nnT恒成立，求实数 的取值范围；（文）是否存在实数 ，使对任意的 *N，不等式 恒成立 ？若存在，请8Tn求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由。22、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第3 小题满分 6 分。（理）定义：对函数 ，对给定的正整数 ，若在其定义域内存在实数 ，)(xfyk0x使得 ，则称
10、函数 为“ 性质函数” 。)(00kxfkxf)(f（1） 判断函数 是否为“ 性质函数”？说明理由；1（2） 若函数 为“2 性质函数” ，求实数 的取值范围；lg)(xaf a（3） 已知函数 与 的图像有公共点，求证： 为“1 性质函y2)(xf数” 。（文）定义：对函数 ，对给定的正整数 ，若在其定义域内存在实数 ，)(xfk0使得 ，则称函数 为“ 性质函数” 。)(00kfkxf)(xf（1） 若函数 为“1 性质函数” ，求 ；x20（2） 判断函数 是否为“ 性质函数”？说明理由；f)(k（3） 若函数 为“2 性质函数” ，求实数 的取值范围；1lgxaa23、 （本题满分
11、18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第3 小题满分 8 分其中6 分、2 分。设抛物线 的焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与抛物线交于:C)0(pxyFx6两点，已知 .21,P8|21P（1）求抛物线 的方程；C（2） （理）设 ，过点 作方向向量为 的直线与抛物线 相交于0m)0,(M)3,1(dC两点，求使 为钝角时实数 的取值范围；BA,AFBm（文）过点 作方向向量为 的直线与曲线 相交于 两点，求),3(),1(adCBA,的面积 并求其值域；FaS（3） （理）对给定的定点 ，过 作直线与抛物线 相交于 两点，M)0,3(M,问是否
12、存在一条垂直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切 ？若存在，请求出这xAB条直线；若不存在，请说明理由。（理）对 ，过 作直线与抛物线 相交于 两点，问是否存在一条)(0,mCBA,垂直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切？（ 只要求写出结论，不需用证明）x（文）设 ，过点 作直线与曲线 相交于 两点，问是否存在实数 使),(M, m为钝角？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由。AFB2012 年长宁区高三数学检测试卷答案一、填空题（共 14 题，每题 4 分，共 56 分）1、2 2、 3、 4、 （理） （文） 5、 （理）5)0,1 352012x（文） 6、 （理）
13、 （文）4 7、(理)2 （文）)(1x2 1,028、 （理） （文）8 9、 （理） （文）2 10、 （理） （文）32r11、 （理） （文）4 12、 13、 （理）7 （文）1 4r 914、1二、选择题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）15、B 16、A 17、 （理）C （文）D 18、B三、解答题19、 （本题满分 12 分）（理）解： 2+（-10） 98 8 分)103(E7=-4(元) . 10 分答：所求期望收益是-4 元。 . 12 分（文）解：由条件 ，bcacb22， 。1cos2A0A. 4 分， ，4120cos|BC8|BC. 8 分。3in|210AS. 12 分20、 （本题满分 14 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 6 分）（理）解： （1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，)0,2(),(BP， ，. 4 分)0,42(C)0,4(),20(ACPB设 与 所成的角为 ， ，. 6 分A1052cos异面直线 PB 与
