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1、12011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设函数 ,则实数 =2,0()()4.xff若A-4 或-2 B-4 或 2 C-2 或 4 D-2 或 22把复数 的共轭复数记作 ，i 为虚数单位，若 =zz1,()ziz则A3-i B3+i C1+3i D33若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4下列命题中错误的是A如果平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面平 面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面C如
2、果平面 ，平面 ， ，那么平 面 平 面 =ll平 面D如果平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面平 面 5设实数 满足不等式组 若 为整数，则 的最小值是,xy2507,xy ， ， xy34xyA14 B16 C17 D196若 ， ， ， ，则02 0- 1cos()433cos()42cos()2A B C D359697若 为实数，则 “ ”是 的,ab01mab 1ba 或 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件28已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线21:(0)xyCab 21:4yCx1C与以 的长轴为直径的圆相交于 两点，若
3、 恰好将线段 三等分，则1 ,AB1ABA B C D23a213a2b2b9有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率A B C D15354510设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a） 记集合 S=2 2(),(1)()xbcgxaxb若 ， 分别为集合元素 S，T 的元素个数，()0,)0,fRTgRST则下列结论不可能的是A =1 且 =0 BS 1=且C =2 且 =2 D =2 且 =3S非选择题部分（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11若
4、函数 为偶函数，则实数 = 。2()fxaa12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是 。13设二项式（x- ） 6（a0）的展开式中 X 的系数为 A,常数项为 B，x若 B=4A，则 a 的值是 。14若平面向量 ， 满足|=1，| |1，且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 与 的夹角 的取值范围是 。215某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙丙公司面试的概率为 ，且三个公司是否让其面试是相互独立3p的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若 ，则随机变量 X 的数学期望1(0)2PX()
5、E16设 为实数，若 则 的最大值是 。,xy241,xy2xy317设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ;则点 的12,F213xy,AB125FAB坐标是 三、解答题;本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 （本题满分 14 分）在 中，角 所对的边分别为 a,b,cABC.已知 且 sinsin,pR214acb（）当 时，求 的值；,14b（）若角 为锐角，求 p 的取值范围；19 （本题满分 14 分）已知公差不为 0 的等差数列 的首项 为 a（ ）,设数列的前 n 项和na1R为 ，且 ， ， 成等比数列nS1a24（1）求数列
6、 的通项公式及nnS（2）记 ， ，当 时，试比较1231.nAS2121.nBaa与 的大小nB20 （本题满分 15 分）如图，在三棱锥 中， ，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落PACB在线段 AD 上，已知 BC=8， PO=4，AO=3 ，OD=2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。21 （本题满分 15 分）4已知抛物线 : ，圆 : 的圆心为点 M1C3xy22(4)1xy（）求点 M 到抛物线 的准线的距离；1c（）已知点 P 是抛物线 上一点（异于原点）
7、 ，过点 P 作圆 的两条切线，交抛物线 于2c1cA，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求直线 的方程ll22 （本题满分 14 分）设函数 Raxxf,ln)()2（I）若 的极值点，求实数 ；fye为 a（II）求实数 的取值范围，使得对任意的 ，恒有 成立，注： 为自然对a3,0(ex)4(2exfe数的底数。5参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。BADDBCACBD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。110 125 132 14 15 16 175,632105(,1)三、解答题：本大题
8、共 5 小题，共 72 分。18本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14分。（I）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,ac解得1,4.ac或（II）解：由余弦定理， 22cosbaB222()cos1,3cs,acBpb即因为 ，230o1,(,)Bp得由题设知 6,.所 以19本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分 14 分。（I）解：设等差数列 的公差为 d，由na214(),a得 211()(3)ad因为 ，所以 所以0a1(),.2nnS（II）解：因为 ，所以2()nS612312()1n
9、nASSa因为 ，所以1na2112()21().nnn nBaa当 ，0,n nnCC时即 1,2所以，当 0;naAB时当 ,.时20本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。方法一：（I）证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz则 ，(0,)(,30)(4,2)(,0)(,4)ABCP，由此可得 ，所以,48,PAB，即BC.（II）解：设 ,1(0,34)MPA则(4,2)(0,34)(,5)(8,)ACB设平面 BMC 的法向量 ，11,nxyz平面 AP
10、C 的法向量 22()由 10,BMCn7得 1114(23)(4)0,80,xyx即11123(,)234,4nzy可 取由 即20,.APnC20,5zxy得2225,4(,43).3,xynz可 取由 120,0,4n得解得 ，故 AM=3。5综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。方法二：（I）证明：由 AB=AC，D 是 BC 的中点，得 ADBC又 平面 ABC，得PO.POBC因为 ，所以 平面 PAD，A故 .BC（II）解：如图，在平面 PAB 内作 于 M，连 CM，P由（I）中知 ，得 平面 BMC，又 平面 APC，所以平面 BMC 平面 APC。P在 22, 41,
11、.RtADBDA中 得在 ，OPO中在 22,tB中所以 2 36PB=.PD得在 22RtOA, 5,OA中 得又 1cos ,3BPB从而 PM ，所以 AM=PA-PM=3。s2综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。821本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1,4y所以圆心 M（0，4）到准线的距离是 17.4（II）解：设 ，22201(,)(,)(,)PxAxB则题意得 ，02设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 ，00()yxk即 0ykx则
12、2|4|1,即 ，222000()()(4)1xkxkx设 PA，PB 的斜率为 ，则 是上述方程的两根，所以12,2,k20012122(4)(),.xxkk将代入 20,y得由于 是此方程的根，0x故 ，所以120,kkx22001212 012 (4)4,.1AB MPxxx k由 ，得 ，MP2002()()ABMPkxx 解得 203,5x即点 P 的坐标为 ，23(,)5所以直线 的方程为l14.yx22本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理9论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。（I）解：求导得2()()2)ln(
13、)ln1).xaafx x因为 的极值点，xef是所以 ()(3)0,ae解得 经检验，符合题意，a或所以 .e或（II）解：当 时，对于任意的实数 a，恒有 成立；1x 2()04fxe当 时，由题意，首先有 ，132(3)ln3fe解得 ，22ln()ln()ea由（I）知 1,afxx令 ()2l1,()0()2ln0,ahhha则且3l()(3)ln()2ln()13eee12(l)0.l又 内单调递增),hx在所以函数 内有唯一零点，(0)在记此零点为 0,13,.xexa则从而，当 时，0()();f当 0,;xafx时当 时，()().即 内单调递增，在 内单调递减，0,fx在 0(,)xa在 内单调递增。(,)a所以要使 恒成立，只要241,3fxe对102200()ln4,(1)3(3fxaxee成立。由 ，知00()2ln1hxx（3）00l,a将（3）代入（1）得 23204ln.xe又 ，注意到函数 内单调递增，0x1,在故 。e再由（3）以及函数 内单调递增，可得2ln(,)x在 13.ae由（2）解得， 233.l()ln()eea所以 .ln()e综上，a 的取值范围是 233.ln()ea
