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1、1绝密使用完毕前2010 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题 卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第卷（选择题 共 140 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1） 集合 ，则 =203,9PxZMxZPMI(A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)x|0x3 (D) x|0x3（2）在等比数列 中， ，公比 .若 ，则 m=na11q12345ma（
2、A）9 （B）10 （C）11 （D）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 （4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（A） （B） （C） （D） 9829A827A827AC（5）极坐标方程（p-1） （ ）= （p 0）表示的图形是（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线（6）a、b 为非零向量。 “ ”是“函数 为一次函数”的ab()(fxabxA2（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）设
3、不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函数 y= 的图像上1035xy9 xa存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, (8)如图，正方体 ABCD- 的棱长为 2，动点 E、F 在棱 上，动1ABCD1AB点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若EF=1， E=x，DQ=y，D（，大于零） ，则四面体 PE的1体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关第 II 卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 。2
4、1i（10）在ABC 中，若 b = 1，c = ， ，则 a = 。32C（11）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。由图中数据可知 a 。若要从身高在 120 , 130） ，130 ， 140) , 140 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在140 ，150 内的学生中选取的人数应为 。3（12）如图， 的弦 ED， CB 的延 长线交于点 A。若OABD AE，AB4, BC2, AD3,则 DE ；CE 。（13）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么21xya
5、b2159双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。（14） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 ，则 的最小正周()yf()f期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴()fx所围区域的面积为 。说明：“正方形 PABC 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 轴负方向滚动。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）
6、（本小题共 13 分）已知函数 。(x)f2cosin4cosx（）求 的值； 3（）求 的最大值和最小值。()f（16） （本小题共 14 分）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB= ，CE=EF=1.2（）求证： AF平面 BDE；（）求证： CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。4(17)(本小 题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假 设该同学第一门课程取得 优秀成绩的概率为 ，第二、45第 三 门课程取得 优秀成绩的概率分别为 ， ( )，且不同课程是否取得优秀成绩相互pq独立。记 为该生取得优秀成 绩的课
7、程数，其分布列 为 0 1 2 3p6125ad2415()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；()求 ， 的 值；q()求数学期望 。E(18)(本小 题共 13 分)已知函数 ( )=In(1+ )- + ( 0)。fxx2k()当 =2 时，求曲线 = ( )在点(1 ， (1)处的切线方程；kyff()求 ( )的单调区间。fx（19） （本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与BP 的斜率之积等于 .13()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,
8、N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（20） （本小题共 13 分）已知集合 对于121|(,),0,2()n nSXxxin，5， ，定义 A 与 B 的差为12(,)nAa12(,)nBbS12|;BaA 与 B 之间的距离为 1(,)|idAab（）证明： ，且 ;,nnCSBS有 (,)(,)dACBdA（）证明： 三个数中至少有一个是偶数(),d() 设 P ，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 (P).n d证明： （P） .d2(1)m（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效
9、）()62010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）B （2） C （3）C （4）A （5）C （6） B （7）A （8）D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （-1,1） （1 0）1（11）0.030 3 （12）5 2（13） （ ，0） （14）4 4xy三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（I） 239()2cosincos1334f（II） 21)()xxx= 2cs4= ,73(o)3xxR因为 ，cs1,所以
10、，当 时， 取最大值 6；当x()fx时， 取最小值2cos3x()f73（16） （共 14 分）证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1，AG= AC=1.12所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AF/平面 EG，因为 平面 BDE，AF 平面 BDE，E所以 AF/平面 BDE.（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CE AC，所以 CE 平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- .xyz则 C（0，0，0） ， A（ ， ，0） ，B（0， ，0）.22所以 ， ， .(,1)F(,1)
11、E(,1)DE7所以 ,01CFBEA10CFDEA所以 , .所以 BDE.(III) 由（II）知， 是平面 BDE 的一个法向量.2(,1)设平面 ABE 的法向量 ,则 ， .nxyz0nBAE即 (,)2,01)xyzA所以 且,y令 则 .1y2z所以 .(0,)n从而 。3cos,2|nCFA因为二面角 为锐 角，BED所以二面角 的大小为 .6（17） （共 13 分）解：事件 表示“该生第 门课程取得优秀成绩” ， =1,2,3，由题意知iAi i， ，14()5PA2()p3()PAq（I）由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ”是对立的，所0以该生至少有
12、 1 门课程取得优秀成绩的概率是 ，619(0)25（II）由题意知1236()()()125PApq435整理得 ，6125pqq由 ，可得 ， .（III）由题意知 123123123()()()()aPAPA8= 41(1)()(1)55pqpq372()(0)()(3)bPP= 5810()1()2()()EP= 95（18） （共 13 分）解：（I）当 时， ，2k2()ln1)fxx1()2fx由于 ， ，1)lf3所以曲线 在点 处的切线方程为 (yfx,()fln21即 3l30xy（II） ， .()1kf(,)x当 时， .0f所以，在区间 上， ；在区间 上， .(,)
13、()0fx(,)()0fx故 得单调递增区间是 ，单调递减区间是 . ()fx1,当 时，由 ，得 ，01k()kfx1x2k所以，在区间 和 上， ；在区间 上，(,0,(0f(,)()fx故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .()f (1,)(,)k1(0,)k当 时，1k2()xf故 得单调递增区间是 .()fx(1,)9当 时， ，得 ， .1k(1)0xkf1(,0)kx2x所以没在区间 和 上， ；在区间 上，,()f1k()0fx故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是1(,)k(0,)(,0)k（19） （共 14 分）（I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 .(,)OB(1,)设点 的坐标为Pxy由题意得 13化简得 .24(1)xyx故动点 的轨迹方程为P24(1)yx（II）解法一：设点 的 坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 , .0,)MN(3)MyN则直线 的方程为 ，直线 的方程为A01(1yxBP01()yx令 得 ， .30431My0231Nyx于是 得面积 PNA2002|()|(3)2MNxyxSy又直线 的方程为 ， ，Bx|AB点 到直线 的距离 .PA0|2yd于是 的面积01|PABSxy当 时，得MNAA2002|(3)| 1xn
