线性代数的基本运算

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1、0第 5 章 线 性 代 数 的 基 本 运 算本 章 学 习 的 主 要 目 的 ：1 复 习 线 性 代 数 中 有 关 行 列 式 、 矩 阵 、 矩 阵 初 等 变 换 、 向 量的 线 性 相 关 性 、 线 性 方 程 组 的 求 解 、 相 似 矩 阵 及 二 次 型 的 相关 知 识 .2 学 会 用 MatLab 软 件 进 行 行 列 式 的 计 算 、 矩 阵 的 基 本 运 算 、矩 阵 初 等 变 换 、 向 量 的 线 性 相 关 性 的 判 别 、 线 性 方 程 组 的 求解 、 二 次 型 化 标 准 形 的 运 算 .5.1 行 列 式5.1.1 n 阶 行

2、 列 式 定 义由 个 元 素 组 成 的 记 号2),21,(njiaD= nnaa 211称 为 n 阶 行 列 式 .其 值 是 所 有 取 自 不 同 行 不 同 列 的 n 个 元 素的 乘 积 的 代 数 和 ,各 项 的 符 号 由 n 级 排 列np21paa决 定 ,即n211D= ,npnp 21 np21)21( aa)其 中 表 示 对 所 有 n 级 排 列 求 和 , 是 排 列np21 ),(21np的 逆 序 数 .p5.1.2 行 列 式 的 性 质(1) 行 列 式 与 它 的 转 置 行 列 式 相 等 .(2) 互 换 行 列 式 的 两 行 (列 ),

3、行 列 式 变 号 .(3) 若 行 列 式 有 两 行 (列 )完 全 相 同 ,则 此 行 列 式 为 零 .(4) 行 列 式 的 某 一 行 (列 )中 所 有 的 元 素 都 乘 以 同 一 数 k,等 于用 数 k 乘 此 行 列 式 .(5) 若 行 列 式 有 两 行 (列 )元 素 成 比 例 ,则 此 行 列 式 为 零 .(6) 若 行 列 式 的 某 一 列 (行 )的 元 素 是 两 数 的 和 ,则 此 行 列 式 等于 对 应 两 个 行 列 式 之 和 .即 ninininininni aaaaaa 212122112211 (7) 若 行 列 式 的 某 一

4、行 (列 )的 各 元 素 乘 以 同 一 数 加 到 另 一 行(列 )对 应 的 元 素 上 去 ,行 列 式 不 变 .2(8) 行 列 式 等 于 它 的 任 一 行 (列 )的 各 元 素 与 其 对 应 的 代 数 余子 式 乘 积 之 和 ,即,),21(,01jkniikDAanji 或 ),(,1i jkjnikj (9) 设 A,B 是 n 阶 方 阵 ,则 , , ,TAnkBA(10)若 A 是 n 阶 可 逆 矩 阵 ,则 ,01(11) 设 是 n 阶 方 阵 A 的 特 征 值 ,则 ,21, inA1(12) 设 是 n 阶 方 阵 A 的 伴 随 矩 阵 ,则

5、*A 2*(13) 几 种 特 殊 行 列 式 的 计 算 :, nnaaa 2120 nnnaaa 21210,nnn aaa 212110 12n1)(12110nna 5.1.3 MatLab 计 算 行 列 式 的 命 令det(var) %计 算 方 阵 var 的 行 列 式3例 1 计 算 行 列 式 的 值3832629041在 MatLab 命 令 窗 口 输 入 :A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3 det(A)执 行 结 果 :A = 1 -3 2 2-3 4 0 92 -2 6 23 -3 8 3ans = -50例 2 计 算

6、行 列 式 的 值 ,其 中 a,b,c,d 是 参 数 .dcb10a在 MatLab 命 令 窗 口 输 入 :syms a b c dA=a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,ddet(A)执 行 结 果 :4A = a, 1, 0, 0 -1, b, 1, 0 0, -1, c, 1 0, 0, -1, dans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1例 3 求 方 程 的 根 .081423x(1)先 求 行 列 式 的 值在 MatLab 命 令 窗 口 输 入 :syms xA=1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,

7、x3y=det(A)执 行 结 果 :A = 1, 1, 1, 1 1, -2, 2, x 1, 4, 4, x2 1, -8, 8, x35y =-12*x3+48*x+12*x2-48(2) 求 3 次 方 程 的 根 .首 先 通 过 函 数 的 图 形 确 定 根 的 大 致 范 围 ,在 MatLab 命 令 窗 口 输 入 :grid onezplot(y)-6 -4 -2 0 2 4 6-2000-10000100020003000-12 x3+48 x+12 x2-48图 1观 察 图 1,可 知 3 个 根 大 致 在 -2,0,4 附 近 ,下 面 求 精 确 值 ,在 M

8、atLab 命 令 窗 口 输 入 :yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)6g2=fzero(yf,0)g3=fzero(yf,4)执 行 结 果 :g1 = -2g2 = 1.0000g3 = 2.0000可 知 方 程 的 3 个 根 分 别 为 -2,1,2.5.1.4 用 MatLab 实 现 克 拉 默 法 则(1)克 拉 默 法 则非 齐 次 线 性 方 程 组 方 程 组 nnnbxaxa 2122121当 其 系 数 行 列 式 时 ,此 方 程 组 有 唯 一 解 ,0211nnaaD 且 可 表 示 为 Dxx,21其 中 是 把 系 数 行 列 式 中 第

9、 j 列 的 元 素 用 方 程 组),21(njDJ7右 端 的 常 数 项 代 替 后 所 得 到 的 n 阶 行 列 式 ,即njnjnnjjj abaD 1,1,1,对 于 齐 次 线 性 方 程 组0212121nnnxaxa 当 其 系 数 行 列 式 0212nnaaD 时 ,此 方 程 组 有 唯 一 零 解 ;当 D=0 时 ,方 程 组 有 非 零 解 .(2)编 写 函 数 klm.m 实 现 用 克 拉 默 法 则 求 解 非 齐 次 线 性 方 程组 .function x=klm(a,b) %参 数 a 代 表 方 程 组 的 系 数 矩 阵 ,列矩 阵 b 代 表

10、 方 程 组 的 常 数 列 ,%返 回 方 程 组 的 解m,n=size(a);if (m=n) disp(克 拉 默 法 则 不 适 用 此 方 程 组 的 求 解 !)8else d=det(a);if (d=0) disp(该 方 程 组 没 有 唯 一 解 !)elsedisp(该 方 程 组 有 唯 一 解 !)for i=1:me=a;e(:,i)=b;f=det(e);x(i)=f/d;endendend例 4 用 克 拉 默 法 则 解 下 列 方 程 组 :12341234520xx操 作 步 骤 :9在 MatLab 命 令 窗 口 输 入 :D=1,1,1,1;1,2

11、,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11;A=5;-2;-2;0;klm(D,A)执 行 结 果 :该 方 程 组 有 唯 一 解 !ans = 1 2 3 -1方 程 组 的 解 为 ,x4x例 5 问 a 取 何 值 时 ,齐 次 方 程 组有 非 零 解 ?0)4(262)5(31xa根 据 齐 次 方 程 组 有 非 零 解 ,系 数 行 列 式 为 零 ,用 MatLab 操 作步 骤 如 下 :在 MatLab 命 令 窗 口 输 入 :syms x A=5-x,2,2;2,6-x,0;2,0,4-x;yy=det(A) ezplot(yy,0,10) 图 20 2 4

12、6 8 10-5005010grid on执 行 结 果 :行 列 式 的 值 为 :yy = 80-66*x+15*x2-x3作 函 数 yy 的 图 形 ,如 图 2观 察 图 2,可 知 根 大 致 在 2,5,8附 近 ,再 输 入 命 令 :yf=char(yy);x1=fzero(yf,2)x2=fzero(yf,5)x3=fzero(yf,8)执 行 结 果 :x1 = 2x2 = 5x3 = 8即 a 取 2， 5， 或 8 时 ,齐 次 方 程 组 有 非 零 解 。5.2 矩 阵 及 其 运 算5.2.1 矩 阵 的 定 义11由 个 数 排 成 的 m 行 n 列 的 数

13、 表nm ),2,1;,2,1(aij njm mnmnaa 1称 为 m 行 n 列 矩 阵 ,简 称 矩 阵 .记 作mnmnaaA 122115.2.2 矩 阵 的 运 算设 有 两 个 矩 阵 和 ,则n)a(ijA)b(ijB(1)加 法 mji)ba(BAMatLab 对 应 求 矩 阵 加 法 的 操 作 符 为 ”+”(2)数 乘 n)ka(ijMatLab 对 应 求 矩 阵 数 乘 的 操 作 符 为 ”*”(3) 矩 阵 与 矩 阵 相 乘设 矩 阵 是 矩 阵 , 是 矩 阵 ,则 矩 阵 A 与 矩)a(ijAsm)b(ijBns阵 B 的 乘 积 是 一 个 矩 阵

14、 ,其 中ncijC),21;,21(,bacs1kjiij nji 把 此 乘 积 记 作 C=AB12MatLab 对 应 求 矩 阵 乘 积 的 操 作 符 为 ”*”(4)矩 阵 的 转 置设 矩 阵 是 矩 阵 ,把 矩 阵 A 的 行 换 成 同 序 数 的 列)a(ijAnm得 到 一 个 矩 阵 ,叫 A 的 转 置 矩 阵 ,记 作 .n T在 MatLab 对 应 求 矩 阵 转 置 的 操 作 符 为 “ “(5)方 阵 的 行 列 式设 矩 阵 是 矩 阵 ,由 A 的 元 素 构 成 的 行 列 式 (各 元)a(ijAn素 的 位 置 不 变 ),称 为 方 阵 A 的 行 列 式 ,记 作 或 detA.MatLab 对 应 求 方 阵 行 列 式 的 命 令 为 :det(var) %var 代 表 待 求 行 列 式 的 方 阵(6)方 阵 的 逆 矩 阵设 矩 阵 是 矩 阵 ,若 有 一 个 n 阶 矩 阵 B,使)a(ijAnAB=BA=E,则 说 矩 阵 A 可 逆 ,矩 阵 B 称 为 A 的 逆 矩 阵 .记 为1逆 矩 阵 的 判 别 定 理 : 若 ,则 矩 阵 A 可 逆 ,且 ,其 中 是 矩 阵 A 的 伴0A*1A*随 矩 阵 ， 由 行 列 式 的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式