线性代数各章知识及脉络图

1 -一、行列式知识结构网络图概念性质展开式计算证明 0A应用经转置行列式的值不变；某行有公因数 k，可把 k 提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；两行互换行列式变号；某行的 k 倍加至另一行．行列式的值不变；不同行、不同列的 n 个元素之积的代数和（按 i 行展开 ）1niDaA（按 j 行展开 ）1njk 余子式、代数余子式给定（i,j）元的值未给定（i,j）元的值化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式；递推、数学归纳法；等用行列式性质计算；用矩阵性质计算；用方阵的特征值；等克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵；线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况；求方阵的特征值nR0 是方阵 A 的特征值；行列式- 2 -行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式的性质【例】：已知 531，252，234 都是 9 的倍数，利用行列式的性质（而不是展开） ，证明 也是 9 的52314倍数。

解答：52314231320r,r523419r523876【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？解答：设原行列式为 ，则新的行列式为 ，nA1det 1321detnB0,32det 132132 ninrB特殊行列式1、 （主）对角行列式、上（下）三角行列式 1112221 ninnaaaa   2、 （次）对角行列式、上（下）三角行列式 1211 122 22111 1nnn n,,, , inn,n naaaaa   - 3 -3、分块三角行列式形式简记为： ，AOABB1knOAB4、范德蒙德行列式  211121 2212 211112, nnnn nnnnxxxxfx xx       121,nijijfxx 1322211njnj jjj j jx 1 nxx21312132311nnxxx认识范德蒙德行列式可以将 n 阶范德蒙德行列式看成式关于 n 个变量 的函数，即 。

此种类型12,nx 12,nnDfx行列式具有如下三个特点：从列的角度看：第 j 列元素从上到下依次为同一个变量 的零次幂、1 次幂、…、n－1 次幂，○ 1 j；,2jn从行的角度看：第 i 行元素是从左往右依次为 的 i－1 次幂，○ 2 12,nx ,2i从结果看： 是关于变量 的 次齐次函数；而且该○ 3 121,nijijfx 12,nx 1齐次函数可以分解为 个一次因式 之积，其中 ，即脚标大者与脚标小者之ijxij差 （说明：i 可以取值为 ，例当 i 取值为 4 时， j 只可以取值为 3、2、1，即区间 中的每,2n 1,i一个整数）当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值参见“范德蒙德行列式专辑”- 4 -认识余子式（Minor）和代数余子式（Algebraic Minor） ，及其之间的关系的 元 的余子式 和代数余子式 ，仅与位置 有关， 的取值如何并不影响其余ijdeta,jijaijMijAi,jija子式 和代数余子式 的取值 ，代数余子式即为带符号的余子式。

ijMijA1ijiji利用教材 P21 例 13 深入理解余子式和代数余子式及其关系例】：已知 4 阶行列式 D 中，第一行元素分别为 1，2，0，-4 ；第三行的 4 个元素的余子式分别为：求 x 的值31323346192,x,,解答： ，所以有 ，121aAaA312340M，所以 407【例】：1、设行列式 的元素为 ，行列式detij试证： ，其中 为 在 中的代数余子式njiiAxD1,dett ijijaAdet证明：把 升阶得到  njiinjjnjj AxAxxA1,11 detdet2、设 ， 是 在 中的代数余子式，求证ijaijijt- 5 -  321cn   按 第 一 行 展 开 0111 2,1,. 2,211,2,1. 1,221.1,2211  nnnnnnnnnnn aaaaa    ,,,121  nn AAA计算技巧：利用特殊行列式计算，利用公式 求行列式值○ 1 B【例】：计算行列式令 ，ABCDn0011222   nbba2,13,121nbaBADn- 6 -加边法专辑○ 2加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，从而实现计算的简化。

此种方法其实是反向利用 Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更易发现规律同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变例】：，其中○ 1 21naa   .,21,0nii 解答： naa1121  12110naa 加 边12102,i nran  1 112100,j nia ncaa    1niia○ 2112212nnnnabab  解答：12112 21210nnnnnbbaabb加 边 21112212,i nnnbaar   121 12 200nnnnbaa加 边- 7 -12112 2003,0nj n nbbca     12212 203,0ni njn nbbca 12112 203,nnii nj nabbc   111nnkkkaba爪型行列式专辑○ 3爪型行列式形如：方法：将 D 的第 i+1 列乘以 都加到第 1 列，得1,2icna有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。

例】： 化为爪型行列式的方法：123nnaxxDxa - 8 -○ 1121 3102,3in naxxrDaxx 112 11n nn ni ii ii iiaxxx axa  先采用加边法○ 2 12300n nxaDxa 11231002,00i nxxaxr ax 11 12310002,00j niia nxxxacnaxx   11nniii xaa加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值：- 9 -范德蒙德行列式专辑○ 4，此 4 阶行列式并非范德蒙德行列式，并非 4 个元素的零次至 3 次幂构成224411abcd解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式 224411abcd234122244400abcad或者 22441abcd2134ra22244410bcad按 第 1行 展 开 222444acdba222111bacdabcadaa＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋- 10 -213c210bacdabcbdaxy＋＋ ＋ 2xcbacbadcxy222211badacbdabcababdabc d解法二：利用范德蒙德行列式。

但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为 5 阶范德蒙德行列式,fabdx，其中（4，5）元素 的余子式即是所求 2223334411,abcdxfabcdx 3x4D按第 5 列展开 ，即2341555, (1)fabcdxAxAx45A根据范德蒙德行列式得 , ,(2)fcxcdfabc其中  43 2abdxxbcadcxcdcab(1)式与(2)式是 的 4 次多项式 的两种表示方式，比较两者 的系数，于是得到 的系数x,fcx3x3x为 45Aabcd所以 45Dfa,bc4cdba【例】：计算行列式- 11 -111222211?nnnnnababD 221122212211ninnbbaaDbbaa 111njii jijjnjinbaba【例】：计算 122 211212nnnnnxxxD解答：将第 1 行的－1 倍加到第 2 行，再将第 2 行的－1 倍加到第 3 行，…，最后将第 n－1 行的－1 倍加到第 n 行，于是原行列式变换为nD21321nr,,r 221112nijijnnxxx【例】：计算 122221112nn nnxxDxx解答：依次对每一行提出因子 2j,,n- 12 -nD121nxxc,,c 122 21121211njjnnnxxx21321nr,,r 1221112nnj jijj jnijnnxxx 【例】：设 ，用范德蒙德行列式证明0abc23Dc解答：给定行列式并非范德蒙德行列式，因此需要对其进行变换化为范德蒙德行列式。

2 231 3abcaabccbc c2 232111acc,abbcbab00cac, a23bDac三角形行列式○ 5利用性质将行列式化为三角形行列式进行计算注意通常化为以下几类三角形行列式：；○ 1 1212 2200nnnnnaaaa      三- 13 -○ 2 111222212111100n,nn, ,n,nnn,naaaaa        爪形行列式最终将行列式化为三角形行列式计算递推法○ 6变换行列式为同类型得较低阶行列式来表示，从而建立起递推关系例】：计算行列式 112100n naa     按第一行展开 12001nnaa      1 1211nnn n i【例。