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1、,弯曲内力,弹性杆件力学,4-1 基本概念及工程实例,4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,4-2 梁的剪力和弯矩,弯曲内力,4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间 的关系,4-5 叠加原理作弯矩图,4-6 平面刚架和曲杆的内力图,一. 工程实例,4-1 概述,弯曲内力,二、基本概念,2、梁 以弯曲变形为主的杆件,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,(1) 受力特征,(2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线,杆的任意两横截面绕垂直于杆轴线的横向轴作相对转动.,1、弯曲变形,3、平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯
2、曲称为平面弯曲.,A,B,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,RA,F1,F2,RB,平面弯曲,一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。,二、载荷的类型,(a) 集中荷载,(b) 分布荷载,4.1.2、梁的计算简图,一、 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,三、支座的类型,1、固定端：,例如：打入地下的木桩，游泳池的跳水板支座等都可简化成固定端支座。,2、固定铰支座：,图所示的桥梁的左端支座。,FRY,3、可动铰支座：,上图桥梁的右端就可简化成为可动铰支座。,简易桥梁,静定梁仅用静力平衡方
3、程即可求得反力的梁。,(a)悬臂梁,(b)简支梁,(c)外伸梁,四、静定梁的基本形式,超静定梁仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。,梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。,吊车大梁简化实例,一、内力计算,已知 如图，F1、F2、 F3 ，a，梁长l. 求 距A端x处截面上内力.,解: 1）求约束力,4-2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图,注意： 约束力一般按真实方向标出。,2）求内力截面法,弯矩M,M,FS,剪力FS,结论：1. 梁任意横截面上的剪力,在数值上等于该截面一侧梁上所有横向外力在y轴上投影的代数和；2.梁任意横截面上的弯矩,在数值上等于该横截面任一侧所有外力（包括力偶）
4、对该截面形心力矩的代数和。,1、剪力符号,使dx 微段梁有 左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m 上的剪力为正。,二、内力的符号规定,使dx 微段梁发生下凸变形（即该段的下表面纤维受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正；,2、弯矩符号,解,例题2 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.,(1）求约束力,(2）求1-1截面的内力,(3）求2-2截面的内力,在集中力偶作用处，左右截面上弯矩发生突变，突变值为该弯矩值的大小；而剪力保持不变。,例3 如图所示的简支梁，试求11及C左右截面上的内力。,解：1.求约束力,得,2.求截面11上的内力,同理,对于C左截面：,对于C右截面：,在集中力作用处，
5、左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。,负号表示假设方向与实际方向相反。,剪力图和弯矩图,一、概念：,在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为的函数，即：,FS= FS(x),M= M(x),1、剪力方程,2、弯矩方程,弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x 轴下侧,二、剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制剪
6、力和弯矩图，下面我们通过具体例题来分析剪力和弯矩图的具体绘制方法。,三、剪力图和弯矩图的绘制,解 (1)求梁的约束力,例 图示的简支梁在C点处受集中荷载 P作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程.,将坐标原点取在梁的左端,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由(1),(3)两式可知,AC,CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线.,由(2),(4)式可知,AC,CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.,集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。,在某一段上若无载荷作用，剪力图为
7、一水平线，弯矩图为一斜直线。,解 求梁的约束力,例 图示的简支梁在 C点处受矩为m的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,将坐标原点取在梁的左端.,在集中力偶作用处，分段列方程,AC段,CB段,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,(2),(3),绘出梁的剪力图,由(1)式可见，整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线.梁的任一横截面上的剪力为,AC，CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.,(2),(3),x = a ，,x= l ， M = 0,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。,在某一段上若无载荷作用，剪力图为
8、一水平线，弯矩图为一斜直线。,例 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,解 (1) 求约束力,(2）列剪力方程和弯矩方程.,剪力图为一倾斜直线.,绘出剪力图.,弯矩图为一条二次抛物线.由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，此梁在跨中点截面上的弯矩值为最大,但此截面上 FS= 0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图.,解 (1) 将坐标原点取在梁的左端， 列出梁的剪力方程 和弯矩方程,设梁上作用有任意分布荷载其集度,弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,一、微分关系
9、的推导,q = q (x),规定 q (x)向上为正.,将 x 轴的坐标原点取在梁的左端.,假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 一段,q(x),写出平衡方程,得到,剪力对截面位置坐标x的一阶导数等于该截面处分布载荷集度q(x),略去二阶无穷小量即得,弯矩对截面位置坐标x的一阶导数等于同一截面上的剪力FS(x)。,二、关系的几何意义,（1）剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处荷载集度的大小。,（2）弯矩图曲线上一点处的斜率等于梁上同一截面处的该点处剪力的大小。,1、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 F S
10、(x) 0 时，向右上方倾斜.,当 F S(x) 0 时，向右下方倾斜.,二、画q(x)、Fs(x)图、 M（x）图的规律,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,2、梁上有均布荷载，即 q(x)等于一个不为零的常数,q(x)=常数 0,FS(x)图为一向右上方倾斜的直线.,M(x)图为一向下凸的二次抛物线.,4、集中力作用处左、右两侧横截面上剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，有尖角。 梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。,3、当FS(x)=0时，该截面上的
11、弯矩必有极值。,左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力,向下的外力引起负值的剪力,右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力,向上的外力引起负值的剪力,三、计算规律,1、剪力,在保证约束力正确的前提下（大小和方向都正），采取正向假定内力的方法，利用外力与内力之间的关系直接列方程。,左上右下 正剪力,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.,2、弯矩,左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,左顺右逆 正弯矩,四、用微分关系画剪力、弯矩图,1）用截面
12、法求控制截面上的剪力、弯矩值。,2）利用微分关系判断控制截面间图形形状及变 化趋势。,控制截面：所用外力（集中力、集中力偶、约束力、分布力等）发生变化的截面及FS(x)=0的截面。,3）画完剪力、弯矩图后，再用微分关系进行全面校核。,剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无分布载荷,均布载荷段,集中力,集中力偶,FS图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,增函数,减函数,曲线,盆状,拱状,自左向右折角,自左向右突变,例 外伸梁受力如图所示。利用M、FS、q间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。,例题 作梁的内力图,解 (1)约束力为,将梁分为 AC、CD、 DB、BE 四段。
13、,(2)剪力图,AC 向下斜的直线(),CD 向下斜的直线 ( ),DB 水平直线 (),EB 水平直线 (),AC 向下斜的直线(),CD 向下斜的直线 ( ),F点剪力为零,令其距 A点为x,x = 5m,(3)弯矩图,CD,AC,BE,祝大家学习愉快!,1、平面刚架的内力 剪力；弯矩；轴力,平面刚架是由刚节点将位于一个平面内的多根杆连接成的平面框架。,一、平面刚架的内力图,刚节点-刚性接头处，相连杆件间的夹角在受力时不变化，刚节点不仅能传力，而且还能传递力矩。,静定刚架：所有未知约束力和内力能够用平衡条件确定的刚架。,弯矩图 画在各杆的受压側，不注明正，负号。,剪力图及轴力图可画在刚架轴
14、线的任一側(通常正值画在 刚架的外側)。注明正，负号。,2、内力图符号的规定,平面刚架的内力的计算和内力图的作法与直梁是一样的，不同点在于对刚架的各段杆要分别选取坐标。（刚节点处、集中力、集中力偶作用处及分布载荷不连续处均需分段）。,例题 图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力F1 和 F2 作用，作此刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。,解：将刚架分为 CB，AB 两段,CB 段,FN (x) = 0,M(x) = -F1x (0 x a),FS(x) = F1 (+) (0x a),F1,BA 段,FN(x) = -F1 （） ( 0 x l ),M(x) = -F1a+-F2 x ( 0 x l ),FS(x) = F2 (+) ( 0 x F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩.,记 E 截面处的剪力为FSE 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向均为正值.,解得,取右段为研究对象,计算 F点横截面处的剪力 FS 和弯矩 MF .,例题11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,
