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1、教 参 新颖试题 悄然升温的函数新贵 湖北省武汉市第一中学 张友成 近年来，一些省市调考、联考以及高考数学试卷中， 取整函数先是低调出场，接着悄然升温就命题形式而 言，选择题形式的考题有之，填空题形式的考题有之，解 答题形式的考题也有之；就试题难易程度而占，容易题 有之，中等题有之，难题也有之下面略举几例 例1 (湖北省八校2013届高三第二次联考理科数 学第9题)已知 R，符号 表示不超过 的最大整数， r 若函数厂【 )= 一。有且仪有3个零点，则n的取值范围是 ( ) A(丢，詈u f詈，寻j c-(吉， u丢， r 解析：由已知得方程 一 a=0有且仅有3个实数根，等价 于方程 =ax
2、有且仅有3个非 零实根，等价于函数y=ax的图 像与函数y= 的图像有且仅 有3个横坐标不为零的公共点， 姻m 丢，ko：-，ko=3， 后 ，故选A B ，u f ，吾 。 ，号u f， 1 5 4 、 3 2 l 01 2 3 4 5 I2 _ 7 E一 7 F一4 图1 点评：解决此题的关键有二，一是将较为复杂的函 r 数厂( )： 一0的零点问题转化为较为简单的函y=ax 与函数y= 的图像交点问题，二是正确作出函数)，= ( 0)的图像，这个图像呈阶梯形状，图像简单，线条明 快在这里，既考查了转化与化归的基本数学思想，又考 查了分段作图的基本数学方法特别是所作图像除一条 十?擞7高中
3、版 取整函数 “线段”两端均无“端点”外其余“线段”均是有“左端点” 而无“右端点”，这就考查得比较细腻了此题对函数图 像要求较高，笔者所在学校2013届高三学生也参加了此 次联考，考试后机器阅卷，电脑数据显示，此题得分情况 很不理想，比第10题的得分率还要低，是选择题中得分 率最低的考题此题是选择题倒数第2题，系副压轴题， 当属难题 例2(陕西省2013年高考理科数学第10Y_)设 J 表示不大于 的最大整数，则对任意实数 、 仃( ) A一 =一 B2x=2【 1 Cx+y +IyD y 一ly 解析：对于选项A，取 =一11，则一 J=l 11 j=1， 一 =一一11=一(一2)=2，
4、故选项A不正确；对于选项B。 令x=15，则2x：3，而2 =2，故选项B不正确；对于选 项c，令 ：一15，y=一25，贝0 +y=一4，但 j=一2，一=一3， 有 +Ey 3=一5，故选项c不正确；从而选项D正确 点评：也可正面证明选项D正确令 = +Ol，y=Iyl+ 卢，其中，0otl，031，,Jx-y=Ix一y+ -3，其中一1 0-31若0 -31，则 = 一Y；若一1 -30，则 01+Or-31，推出： y= 一 + -3=Ix-y-I+(1+O- 卢)j ： 一Y-1Ix-Iy1故总有 Y 一 y1此题是选择题的压轴题，其绝对难度并不是很大，但 高中课本新教材(人教A版)
5、从头到尾一直没有涉及取整 函Sty=Ix学生面对的是一个新概念、新背景、新领域， 故相对难度还是很大的这样命题既有新意叉不失偏 颇这样的试题堪称“好题”这一年，陕西省文科数学中 也有一道关于取整函数，= 的试题，也是“好题” q)13 (湖北省2013年高考文科数学第8题)设 为实 数， 为不超过 的最大整数，则函数厂( )= 一 在R上 为( ) A奇函数Bf禺函数c增函数D周期函数 题妻 解析：令x=11，则厂(11)=1_1_11=01，但厂(一1-1)= 一11 一11=一11+2=09，故选项A、B均错 由，(19)=09 ，【21)=01，得选项c也错 从而选项D正确 点评：当nZ
6、，n n+1时J(x)= 一 = n，故可 分段作出厂( )： Ix的图像(如图2)，这样就能直接选出 正确答案D 2 需要关注的是，对于任意一个正数 ， 表示其整 数部分， 一 表示其小数部分，通常用符号表示，它 有许多简洁而有趣的性质，例如：对任意 R，函数 = 的值域为0，1)；若nN， R，则n帆)= )，此等式 表明y= 是一个以1为周期的周期函数等可以说，函数 y=与函数y= 相伴相随，相映成趣 取整函数也称高斯函数INT(x)，它有多种类型，如 四舍五入取整函数Round( )，上取整函数y= ，下取整 函数y=l j，若不特别说明，取整函数Iy= 通常指下取 整函数取整函数 =
7、 ，以往不时出现在各级各类竞赛 或自主招生考试中，颇受命题组的青睐，但在高考中还 鲜有出现，现在，既然取整函数y=Ix不约而同地出现在 一些省市的高考试卷上了，并且还有悄然升温的征兆， 那么研究一下取整函数的一些基本性质就有一定的意 义了，下面给出取整函数y= 的几条性质 性质1：对任意 R，均有 l +1； 性质2：取整函数是一个不减函数，即对任意实数 ，、 2，若 l 则 1 2； 性质3：若nN， R，贝0tt+X=n+ ； -陛质4：若 ER，YR，贝4 +Eyx+y +y +1； 性质5：若nN+， R，贝0nxnix； 性质6：(厄米特恒等式) +卅 1+f + + + 1_眦 L
8、 n J 最后，应该指出，取整函数与微积分有着紧密联系， 它在科学和工程上有广泛应用可以展望，随着高考命 题研究的不断深入，取整函数 的“出镜率”将越来越 高，这是一个方兴未艾的研究课题，是一块尚待深入发 掘的热土圜 (上接第44页) 探究2：囚为圆可以看作 离心率为0的椭圆，因此令6= 。，并且猜想会得到与原题类 似的结论(见图3)但是，椭圆 变化为圆的过程中右焦点逐 渐退化为圆心，并且0p不可能 l 图3 与 平行，故 艇直该不会有与原问题相同的结论了， =l (学生探究受到了阻碍，在老师的指导下探究得以继续) 但是由仿射几何的观点可知：平行线可以看作在无穷远 三 处相交，由此猜想，当点艇
9、离点0无穷远时，有l = 斗1=1 8，上述猜想均得到了证明，过程略 原题目属于圆锥曲线综合问题，题目条件简洁，结 论美观大方，充分体现了数学的形式美和简洁美，是一 道训练学生数学思维能力和计算能力的好题，但对这个 问题不应该仅仅停留在解决它，该问题还有很大的引 申、推广空间，还能将探究活动自然的延续下去，以此为 载体培养学生主动参与和探究数学问题的意识和习惯 文1指出，教师应在学生探究前先行探究，考虑探究问题 的起点和方式，应选用学生比较熟悉的背景，采用自主 探索与合作交流的方式进行，留给学生足够的时间和空 间，让其历经观察、实验、猜测、验证、推理、计算和证明 等活动过程在此过程中，教师也应积极参与，应作为探 究活动的组织指导者和合作交流者，必要时适当点拨探 究思路，与学生密切合作，尊重学生、信任学生并鼓励学 生，让学生充分体会历经发现问题、解决问题后的成功 的喜悦 参考文献： 1李俊“探究：椭圆中的一组性质”的教学设计和教 学体会J数学通讯，2m2(4) 2徐明高三数学解题教学的探究性设计J数学通 讯，2011(2)圜 高中版中?擞-g
