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1、付晓玉：分布参数系统能控能观性问题的统一处理及应用 熟知，能控性问题的处理通常被转换为处理其对偶系统的能观性问题对于控制系统(11)，其对 dz(t) (0 ) 2 由经典的对偶理论IS知，系统(11)零能控当且仅当如下的能观性不等式成立， eA Tz。 T IB*eA*tzo ，Vzo c Y* (13) 所谓能观性不等式，通俗地说，就是用局部观测区域上的能量来估计系统的总能量这种类型的不等 式对解决反问题也是有用的91然而，对于具体的偏微分方程而言，能观性估计的证明并不是件容易 的事情为此，人们发展了若干方法来研究能观性估计对双曲型方程，有矩量方法、乘子方法、微局 部分析方法和Carlem
2、an估计等对抛物型方程 有矩量方法和Carleman估计等然而，矩量方法一 般只适合于一维或非常特殊的高维区域，有一定的局限性因此，人们自然期望能给出不依赖于方程 类型的Carleman估计本文致力用统一的观点和方法来研究确定性分布参数系统的能控能观性问题 分布参数系统的能控能观性强烈地依赖于系统本身的特性，如时间可逆与否，典型的例子分别是 波动方程和热传导方程现在已经清楚，这两类方程的能控能观性有着本质的差别自然地，人们希望 知道这两类不同系统的能控能观性理论是否还有某种联系特别地，如能建立抛物和双曲方程在某种 意义下统一的能控能观性理论，则是一个很有意义的工作该问题最早由分布参数系统理论的
3、创始人 之一Russell_10J提出并给出初步结果Russell1o证明了如果经典波动方程在某个控制器作用下精确 能控，则相应的热传导方程亦在同样的控制器下精确零能控但熟知对波动方程的精确零能控性，其控 制器必须满足比较苛刻的几何条件，而对热传导方程的精确零能控性而言，其控制器只要是非空开集 即可，而不需要其他任何几何条件因此，Russell的结论尚不能给出两类方程的能控性理论以令人满 意的统一的解释继Russell之后关于抛物型和双曲型方程能控性理论的有机联系可参见文献f11131 其中文献111是对抛物方程和双曲方程通过分别推导了各自方程的整体Carleman估计，而后得到了 相应的能控
4、能观性结果而文献f121先后在一定条件下证明了，一方面，对精确能控的双曲方程的奇 异摄动问题取极限即得到某个抛物方程的能控性；另一方面，抛物方程的所有能控性结果都可以由某 个双曲方程的能控性推出，进而发现原先各自独立发展的这两类方程的能控性理论之间的有机联系 从方法的角度看，关于抛物型和双曲型方程能控性理论的统一问题并没有取得实质性进展最近，文 献【14，151发展了一套统一的不依赖于方程类型的基于整体Carleman估计而得到的分布参数系统能 控能观性问题的方法本文的主要目的就是介绍该统一处理方法并给出其在分布参数控制理论中的应 用关于分布参数系统能控能观性统一理论的更多应用，参见文献161
5、 本文组织如下：第2节给出本文的主要结果，其内容是文献141中的主要创新性结果及其应用： 第3节将给出基于该统一处理方法近期所得到的后续研究成果 2 主要结果 本节将叙述文献14中的主要结果本节将主要内容分为3小节介绍首先，本文将给出一个相当 于一般的关于“类抛物”偏微分算子的带权恒等式，由此出发，我们得到了半线性复GinzburgLandau 方程的能控能观性结果；其次，作为带权恒等式的应用之一，我们研究了高维半线性双曲型方程的整体 1166 中国科学：数学第43卷第12期 精确能控性问题；最后，作为带权恒等式的又一应用，我们得到了带有位势的板方程组能观性常数的 显式估计，并证明了能观性常数
6、的最优性 为了方便起见，本文首先介绍一下今后将要使用的一些记号设T0，Q c n(nN)是有 界区域且具 。边界r我们用 =( 1，V2， )表示区域Q在边界r上的单位外法向量记 Q=(0，T)Q，E=(0，T)F设 是Q的一个适当的非空开子集，记 为 的特征函数对集合 S c R 和 0，记 (=) ( ) J l X I0， ( ， ) 81 ，V( ， ，) R J，k=l 条件2 设 ()C (豆；R)满足对称性条件 ( )=hkJ(x)，J，k=1，2，n，并且对某个常 数820， V(X， )Q 21 带权的恒等式及其应用 对固定的实值函数0：， C。( + )和b5 C1,2(
7、+ )满足 =bkJ，J， =1，2，m我们 定义二阶形式偏微分算子： Pz ( +i ) +( )。 ， i= J，k=l 定理3 ，定理 】 设 ， C ( +m；c)， ， (R1+m； )记 =e ，则 e (PzI1+PzI1)+Mt+以 =1 =211it + v 西 + kVxj)+BIv J。 其中 r m -I m +iI +(ZbJ ) t一 )一bJk ( j矾+可xjVt)， (21) J， =1 ， =1 1167 2 2 S ， ， n， 一 一 口 一 QL + QL + A + + 一 = rf 一 m ， 一 巩 m ， = A 付晓玉：分布参数系统能控能观性
8、问题的统一处理及应用 M 【( + ) Vk 一i 1 J=1 m m Alvl + bSkvxjV +i ( u一 可) j，k=l ，k=l (2 “一 bJ ) (u ， ，+一VXj!VXk!) 1 2( ，) ， 一( ；) ，+互1( )t一 B ( )t+( ) 一( )t 2 k(o： 叫 J，=l +2 bJkgxjAk +2 I( ) + l ，=l 带权恒等式(21)的主要想法是将主算子P 与另一个带权的算子e 厶作乘积，将它写成散度项 与能量项以及具有恰当符合的低阶项之和的形式，通过选取适当的权函数 和辅助函数 来吸收不 希望有的项 这就是Carleman估计中最关键的
9、想法为了能更深入的理解Carleman估计的思想 可 参见文献 16，第6页1中的简单例子另外，注意到主算子Pz为复值函数，所以，我们在恒等式(21) 中引入了共轭算子，使得恒等式(21)中的每一项都为实值函数后面我们将会看到，由定理3出发， 我们可推导出关于抛物方程4】、双曲方程【18、SchrSdinger方程和板方程19的所有已知的基于整体 Carleman估计而得到的能控能观性结果类似于定理3的逐点估计式，我们还可参见文献16，20，2l1 接下来，作为定理3的一个直接的应用，我们考虑如下的受控的复GinzburgLandau方程的零能 控性： f1+ib)yt Y=0， y(o)=Y
10、o， z，Jz 这里b ，_厂()C (C)满足 8 In -o， lsI_o。l l l l sI 系数矩阵( ) 满足条件1在(22)中，我们取状态空间和控制空间分别为 (Q)和 。(0，T) ) 为了得到系统(22)的零能控性，我们需要考虑系统(22)的线性化方程的对偶方程 1168 (23) 2 一 + A 2 m + 一 + 一 m ， J + lI 2 2 中 上中 Q Q 在 在在 + 札 X 南 中 上中 Q c： 在 在在 g lI + ， 幻 ， ： 0 十 = r 一 ，、【 中国科学：数学第43卷第12期 其中q() 。(0， ；Ln(Q)在定理3中通过选取 =1， ：
11、b，m：佗和 (t， )= (， )，我们可 以得到具有复主部的抛物算子的带权恒等式由此恒等式出发并采用文献17】中的方法，我们最终可 得到如下的能控能观性结果 定理417，定理11】设条件1成立对任意的T0以及Q中任意的非空开子集 ，存在常数C0 使得对任意的ZTL。(Q)，系统(23)的解满足 z(O)lL (Q)C(1+b2)exp(C(1+6。)lqI羔。(0，T江 (Q)I IL。(0，T) ) 定理5【171定理12】设条件1成立，则系统(22)是零能控的 显然，当b：0时，我们即得到抛物方程的零能控性注意到在定理4和5中，T0是任意的且 控制器不需要任何的几何假设条件，这与后面将
12、要讨论的双曲方程的能控能观性问题有着本质的 区别 22 高维半线性双曲型方程的整体精确能控性 作为定理3的应用之一，本小节将讨论高维半线性双曲型方程的能控能观性问题考虑下面的受 控双曲方程： 一(Mk(x)vx ) = )+)( ( ) ( ， )，在Q中， 在上， (2-4) I (0)=Y0，Yt(0)=Y1， 在Q中， 其中系数矩阵( ) 满足条件2，()C ( )满足 一limliE8-+00 In-0 - U s lsI 在系统(24)中，我们取状态空间和控制空间分别为础(Q) 。(Q)和 。(0，T)X ) 为了得到系统(24)的精确能控性，通过熟知的对偶理论(可参见文献21和6，
13、定理32】)，我们需 要考虑线性化系统f24)的对偶系统 Wtt一 j， =1 =0 w(o)=WO Wt (x)w ) 0)=W ：qw， 在Q中， 在E上， 在Q中， (25) 其中口 o。(0， ； (Q)，( 0，W1)H一 (Q) 。(Q)为了得到系统(25)的能观性不等式，我们还 需要如下的假设条件 条件6 存在函数d()C (豆)满足 (i)存在常数 04，使得对任意( ，)=( ， 1， )Q ，有 几 ， n 、 n 【2J ( J d J，) ，一 ， d ， 。 ； (ii)d()在豆中没有临界点，即rain JVd(x)I0 1169 付晓玉：分布参数系统能控能观性问题
14、的统一处理及应用 (iii) 1 k：1 hjk( )d 。( )d ( )max 豆d( )rain d( )，Vx豆 接下来，令 =2 ，r+垒 r l，妻 州 )O) 在定理3中通过选取OL= =0和bJ (t， )三hJ ( )，我们可得到类似于文献18】中关于双曲算 子的带权的逐点估计式，由此出发可得到如下的能控能观性结果 定理7 定理 。】 设条件2和6成立设对某个 0， =O (r+)n Q，则对任何TT ，存在 常数C0使得系统(25)的所有弱解W满足 (wo， 1)lLz(n) 一 (Q)Cexp(Clql2Lo。(0， 江 (Q)l鲫lL。(0，T) )， V(Wo，W1)
15、L2(Q)H一 (Q) 定理8【l81足理2 2 在定理7假设下，对任何TT ，系统(24)在时刻T，在控制 L2(0，T) ) 的作用下在空间鳏(Q)L f【2)中是精确能控的 从上述结论中我们可以看到对双曲方程的精确零能控性，其控制器u必须满足一定的几何控制 条件另外，由于双曲方程的解的传播速度是有限的，所以自然要求等待时间 必须充分大才能保证 系统(24)的精确能控性受启发于文献18】中建立能观性估计的方法，在后续的研究中，我们还给出 带一般双曲型记忆核的热传导方程能控性及非能控性问题较为完整的分析22】 23 带有位势板方程组的能观性不等式及其最优性 作为定理3中带权恒等式的又一应用，本小节将给出带有位势的板方程组的能观性常数的显式 估计 令札1和N1为两个整数记 y H。(Q)I Ir=Ayr=0) 我们考虑如下的 一值板方程组： I Ytt+A。Y+qY=0， 在Q中， Y=Ay=0， 在
