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1、Poisson括号 Poisson括号在量子力学中有很重要的作用。它与量子力学的联系最早是由Dirac提出的，他发现量子力学中力学量的对易关系与经典力学中的Poisson括号非常相像，在这个基础上，Dirac创立了量子力学的符号法，根据这种类比，我们只要在下面所讨论的力学量的运动方程左边乘上一个因子，就得到了量子力学的Heisenberg方程；只要在下面基本Poisson括号等号的右边乘上一个相同的因子i，就得到了量子Poisson括号（量子力学中将它称为对易子）。 i=首先我们看一下，对于任意一个力学量( ),f pqt，Hamilton力学中是如何判断它是否为运动积分的。为此我们将它对时间
2、求导数 kkkdf f f fqdt t q pkp =+ + (1) 利用Hamilton方程把和kqkp的值代入上式得到 ,df ff Hdt t=+(2) 其中 ,kk kkf HffHqp pqH = (3) 称为f和H的Poisson括号（f和H的次序是很重要的）。方程(2) 通常称为力学量f的（用Poisson括号表示的）运动方程。 正如我们所知，在体系运动过程中保持不变的力学变量称为运动积分。从上面的方程(2)可以看出，量f为运动积分（0df dt =）的条件可以写为 ,ffHt0+ =(4) 特别是，如果力学量f不明显地依赖于时间（0f t =），那么这个条件就是 ,fH 0=
3、 (5) 即运动积分与Hamilton函数的Poisson括号为零。以前我们要判断一个力学量f是否是运动积分，一般需要先解出运动方程，得到()iiqqt=和()iip pt=，然后把它们代入(, ,)f qpt中，才能看出f是否和时间无关。而现在，我们可以直接从f和H的关系判断是否为运动积分。最简单的例子是：若f就是H本身，那么由(3)式，显然,0HH=，代入(4)得到Hamilton函数为运动积分的条件是0H t=，这是我们早已熟悉的结论。再看一个例子，考虑中心势场中粒子的运动，笛卡尔坐标系中Hamilton函数为 ()2iippHUm=+rp(6) 角动量i ijk j kLx=不显含时间
4、，它只是位置和广义动量的函数，因此 ,iiill lllijk jl k ijk kl jlkj jkijk ijkdL L LiH HLHdt x p p xp Upxmxpp xxdUmrdr = =(7) 其中用到中心力条件，即势能仅仅依赖于粒子到力心的距离r： kkkxUdUr dUx dr x r dr=(8) 方程(7)中的第一项要对指标,j k求和，但是，ijk关于指标交换,j k是反对称的，而则是对称的，因此该求和项必为零（你也可以这样来做，由于kppj,j k是求和指标，我把这两个指标互换不会改变它的数值，即ijk k j ikj j k ijk j kpp pp pp =，
5、也就是说，这个量等于它的负值，当然它必须等于零），类似的，第二项也等于零。因此 ,iidLLHdt0= = (9) 也就是说，粒子相对于力心的角动量是守恒的（想想前面的过程中“相对于力心”是如何体现的？）。 利用Poisson括号，我们还可以把正则方程写成完全对称的形式（让f分别等于和iqip） , ,ii i iqqH ppH= (10) Poisson括号还有其它很重要的应用，在介绍它们以前，先来了解一下Poisson括号的性质会使我们的计算更加简明。为此，我将把Poisson括号稍作推广：任意两个力学量f和，其Poisson括号类似地定义为： g,kk kkf gffgqp pqg =
6、(11) 从定义很容易导出Poisson括号具有以下性质。 把两个函数对调，Poisson括号改变符号（反对称）；如果其中一个是常数c，那么Poisson括号等于零： ,f ggf= (12) 其次还有（双线性，因为对第一个力学量f也有类似的关系） 12 1 2,fg g fg fgfcg cfg+= +=(14) 另外还有（Leibniz法则，这只是类似于微分的链式法则的一个不同称呼而已） 12 1 2 1 2, ,f gg f g g g f g= + (15a) 如果f仅仅是q或者仅仅是的函数，那么由定义可直接得到 p() () , , , , ,iifff qg qg fpg pgqp
7、= (15b) 从(15a)你还可以得到一个非常有用的关系 1,nn,fg ngfg=(15c) 如果函数f和中有一个是坐标或动量，那么Poisson括号简化为偏导数 g , ,iiiif fqf pfpq = (16) 第一个式子可以在定义(11)中令igq=得到，此时由于klqqkl =以及0klqp=，求和只有一项有贡献。在上式中让f等于jq和jp，我们可以得到 , 0, , 0, ,ij ij ijqq pp qpij = =p(17) 只要把最后一个式子右边乘上因子i，上面三个等式就给出了量子力学中的基本对易关系。 =一般的Poisson括号都可以利用上面这些性质将其化为(15)或(
8、16)的线性组合从而很容易地得到。例如角动量i ijk j kLx=，这里jx是广义坐标。从基本Poisson括号 , 0, , 0, ,ij ij ij ixx pp xpj = = (18) 不难得到 , , , , ,i j ijk k i j ijk k i j ijk kx LxpLpL = L= (19) 比如第一个关系 , ,i j i jmn m n jmn m i n jmn m in ijm mx Lxxp xxp x = x= 类似的 , ,i j i jmnmn jmn i m n jmnimn ijnnp Lpxp pxp p = p+,利用此二式有 ()()(),
9、,i j ikl k l j ikl k l j ikl k j l ikl k l jikl kjm m l ikl ljm k m lik ljm m k k mij km im kj m k k m i j j i ijk kLL xpL xpL xL p x pLxp xp xp xpxp xp xp xp L = + =+= = = =在三个函数所组成的Poisson括号之间，有下列关系式成立： , , , 0fgh ghf hfg+= , , , 0fg h gh f hf g+= (20) 称为Jacobi恒等式。为了证明它，首先注意Poisson括号 ,f g是f和的一阶微商的
10、双线性齐次函数，因此，g ,h fg 是f和的二阶微商的线性齐次函数，所以等式的左边是所有三个函数gf、和的二阶微商的线性齐次函数。我们来把包含g hf的二阶微商的项放在一起，第一个括号内没有这类项，它里面只有f的一阶微商。定义微分算子( ) ,gD g =和( ) ,hDh =，最后两项之和可以用gD和gD形式地表示为： () ()(), , , , ,gh hggh hgghf hfg ghf hgfDDf DDfDD DD f+= = =(21) 很容易看出，线性微分算子的这个组合中不可能含有f的二阶导数。事实上，线性微分算子的一般形式是 , gk hkkkDa Db = (22) 其中
11、和是变量kakb12, 的任意函数，那么 22+lgh kl kkl k llhg kl kkl k lbDD ab aaDD ba b = = (23) 而它们的差 llgh hg k kkkbaDD DD a bl = (24) 也是一个只包含一阶导数的算子。由此可见，在等式(20)的左边，所有含f二阶导数的项都相互抵消掉了。当然这个结论对于和h也成立，因此整个的表达式g恒等于零。 介绍Poisson括号的最后一个性质。 ,f gfg g fttt =+ (25a) 这个性质很容易从定义看出，不仅如此，如果你把上面对时间的偏导数换成全微商也是成立的，也就是说 ,ddffg g fdt dt
12、 dtdg =+ (25b) 这个关系可以利用Jacobi恒等式以及(25 a)得到证明，这是因为从(2)得到 ,dfg fg fg Hdt t =+ (26) 而 , , , , , ,f gH gH f Hfgf gH fH g= =+ (27) 最后一个等式用到了Poisson括号的反对称性，将第一项按照(25 a)展开并且作适当整理就得到 ,df g,f gHfgfHdt t t=+ + +g(28) 这样就证明了性质(25 b)。 从性质(25 b)我们马上可以得到关于Poisson括号的一个非常重要的结论：如果f和是两个运动积分，那么它们的Poisson括号也是一个运动积分： g
13、, const.fg= (29) 这就是所谓的Poisson定理。因为如果力学量f和是两个运动积分，也就是说 ，因此，(25b)式就告诉我们g0fg= ,f g对时间的微商也是等于零的，即它是一个运动积分 当然，运动积分的数目是有限的（21s），因此Poisson定理并不总是能为我们提供新的运动积分，在某些情形下，我们可能得到一些毫无意义的结果Poisson括号等于常数。而在另外一些情况中，新得到的运动积分简单地就是原来运动积分f和的函数。但是，除此二情形外，Poisson括号会给出新的运动积分。 g一个简单的例子是如果一个粒子对1x轴和2x轴的角动量守恒，由于，因此这个粒子对31,LLL=2
14、3x轴的角动量也守恒。而且从这三个守恒量你再也不可能利用Poisson括号构造别的守恒量了。角动量在某个方向的投影守恒意味着力矩在该方向的投影为零，那么刚才的结论似乎就意味着如果10 =和20 =，那就必然有30 =，而这显然是错误的！那么问题出在什么地方呢？请思考之！ 最后简单介绍Poisson括号的另一个应用：如果力学量和Hamilton函数都不显含时间，那么 22, dffHdtdf dfHfHHdt dt=(30) 而我们知道 22020012!df d fff t tdt dt=+ + + (31) 也就是说，我们可以利用Poisson括号把力学量作Taylor展开 20001,2!ff fHt
