《数学归纳法的应用古丽米热图尔孙指导教师阿布拉热孜克评价》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法的应用古丽米热图尔孙指导教师阿布拉热孜克评价（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 编号 学 士 学 位 论 文数学归纳法的应用学生姓名： 古丽米热.图尔孙 学 号： 20060101039 系 部： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-3 班 指导教师： 阿布拉.热孜克 完成日期： 2011 年 5 月 8 日 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS中文摘要数学归纳法在中学数学中一种常用的证明方法，它的应用及其广泛.本文讨论了数学归纳法的步骤，阐述了数学归纳法的证明思路.本文总结了数学归纳法解决代数恒等式，不等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，有利于提高我们对数学归纳法的应用能力.关键词：概念；应用；数学归纳法 学 士
2、学 位 论 文BACHELOR S THESIS2目录中文摘要 .1引言 .21.基本概念 .21.1 数学归纳法 .21.2 数学归纳法原理 .31.2.1 第一原理： .31.2.2 第二原理： .32. 数学归纳法解决应用问题 .32.1 应用代数恒等式方面的问题 .42.2 应用不等式方面的问题 .52.3 应用几何方面的问题 .72.4 应用整除方面的问题 .82.5 应用对数运算方面的问题 .92.6 应用指数运算方面的问题 .102.7 应用排列和组合方面的问题 .102.8 对于不等式的证明，有时适当放大或缩小，有时用综合法与分析法 .11总结 .13参考文献 .14致谢 .1
3、5 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2引言在学习数学的过程中，有一种很常见且基本的数学方法数学归纳法，它是用于证明与自然数有关的命题的一种严格推理方法，它的应用十分广泛，因此正确认识和理解数学归纳法，以及掌握数学归纳法证题的一般技巧是十分必要的.1.基本概念归纳法：从分析一些特例的共同特征，进而得出一般性的结论，这种由特殊到一般的推理方法叫归纳法.不完全归纳法：仅仅考查部分特例而得出一般性的结论，所得结论不一定正确，这种归纳推理方法成为不完全归纳法.完全归纳法：对考查对象一一考查之后，经过归纳所得的结论肯定是正确的，这样的归纳法成为完全归纳法.1.1 数学归纳法对于不完
4、全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题，常用两个步骤来证明它们的正确性.证明当 取第一值 （如 或 等）时，命题成立.01.n01n02假设当 （ ）时命题成立，那么要证当 时原命2k,kN1nk题成立.在完成了两步骤以后，就可以判定命题对于从 开始的所有自然数 都成立，0n这种证明方法叫做数学归纳法. 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS31.2 数学归纳法原理1.2.1 第一原理：设 是一个自然数有关的命题，如果 满足以下两个条件，则 它()pn()pn切自然数 或 都成立.0k(为 命 题 的 第 一 个 自 然 数 ）（1） 当 时， 成立为 命 题 的 第 一
5、个 自 然 数 ） ()（2） 假设当 时 成立，由此推得当 时 成立，0nk()pn1nk()pn则由（1）和（2）可知对一切正整数 ， 都成立.0()1.2.2 第二原理：设 是一个与自然数有关的命题，如果 满足以下两个条件则它对一()pn ()pn切自然数 或 都成立.0k(为 命 题 的 第 一 个 自 然 数 ）（1） 当 时， 成立0,1)k或 ()（2） 假设 对一切不大于 的自然数 成立，由此推证()pn0kn对当 时成立则由（1）和（2）可知对一切正整数 ，()pnk=+ 0都成立.2. 数学归纳法解决应用问题通过对数学归纳法的了解，数学归纳法的应用是十分广泛的，用这个数学方
6、法可解决以下几个方面的数学问题. 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS42.1 应用代数恒等式方面的问题 很多的代数恒等式，和它的严格证明需要用到数学归纳法.例 1 用数学归纳法证明1sin2sin2i.sixxx证明 （1）当 时，左边= ，右边= ，所以等式成立.1isi（2）假设 时等式 成立.那nk1n2sin2i.siikxxx么当 时等式的两边同加以 得1i(1)ksn2sin2sini()isin(1)ixkxkxxx=1i 1siicos22nkkxx=i(sicsin)2kkxx=1sin2(siisi)kkkxx= .si(1)2sin2kkxx 学 士
7、 学 位 论 文BACHELOR S THESIS51sin()12sin2sini()ikxxkxxx所以，当 时等式成立.1k由（1） ， （2）可知，对于任意的自然数 等式都成立.n例 2 用数学归纳法证明 222(1)136n证明 （1）当 时，左边=1，右边= 等式成立.n16（2）假设当 时，等式 成立.k222(1)36k当 时左边= = 2(1)(1)6k2()()kk= = 等式成立.()23kk16222()2(3)1(1)kk由（1）和（2）可知，对于任意的自然数 等式都成立.n2.2 应用不等式方面的问题例 3 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 ，不等式n成立
8、.112()()5n证明 （1）当 时，左= ，右= ，左 右2n4352所以不等式成立. 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS6（2）假设 时，不等式 成nk1121()()35k立，那么当 时1(1)()352(1)21kk = =1248483kk= ()232kk所以 时，不等式成立.1n由（1） ， （2）知，对一切大于 1 的自然数 ，不等式都成立. n例 4 用数学归纳法证明 212naaa 证明 （1）当 时 ，命题成立.1n1当 时 两边加上22221，111aaa221()()a所以 时 ， 命题成立.n22（2）假设当 时命题 成立，nk1212kka
9、 那么当 时1k212341()k kaaa 131k 23ka因此，当 时命题也成立.nk由（1） ， （2）可知，对于任意的自然数 命题都成立.n常见错误：数学归纳法的第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可. 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS7例如 用数学归纳法证明 （ ）21nnN错证：（1）当 （ ）时不等式成立，即k,k成立.那么当 时，有2k22()()342(1)kkkk这就是说，当 时不等式成立.1n综合，由（1） ， （2）可知，不等式对 成立*nN分析：在数学归纳法的第二步中，在推证 时命题也成立时，必须1k归纳假设即 时的命题作为条件
10、用上成立，否则就不是数学归纳法.nk正确证明（1）当 时， 不等式成立.12（2）假设当 （ ）时不等式 成立，k21k既 成立.当 时，有2()kn2 21()()()()k= = =2434kkk1所以当 时，不等式成立.n综合，由（1） ， （2）可知，原不等式 成立.nN2.3 应用几何方面的问题 例 5 凸 边形的内角和等于 n()2)180fn证明 （1）当 时，就是三角形内角和为 1803既 时，命题成立.(3)2)180(2)180f3（2）假设当 时，凸 边形内角和等于 成立.nk()2)180fk 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS8因为凸 边形可以添
11、一条对角线而成一个凸 边形与一个三角形，所以凸(1)kk边形内角和为凸k边形内角与三角形内角的和即 ()2)180fk1也就是说，当 时，命题也成立.n由（1） ， （2）知，对一切大于 2 的自然数 命题都成立.n2.4 应用整除方面的问题 例 6 用数学归纳法证明： 能被 6 整除.35n证明 （1）当 时， ，命题显然成立1n1（2）假设当 时， 能被 6 整除，那么当 时，k3k1nk3 2()5()()()26()k k因为三个连续的自然数的乘积 能被 6 整除，显然1(k也能被 6 整除，所以当 时命题成立.6(1)kn由（1） ， （2）可知，对于任意的自然数 ， 都能被 6 整除.35n例 7 用数学归纳法证明： （ ）能被 9 除.(31)7nN证明 令 ()nf（1） 能被 9 整除.132（2）假设 （ ）能被 9 整除，则()7kfkN1()4(3)71kfk 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS9= 3741371kkk= = =218827kk9(3)7k在 = 中()fk(9)kf能被 9 整除
