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1、-第 0 章 数学史人类文明史的重要篇章主题：数学史的文化特点1 数学史研究的主要内容：人文积淀、数学源流、思想方法。2 数学史的文化特点：（1） 数学史构成了科学史最富有理性魅力的题材。数学家、科学家是如何认识和如何做数学的？数学是如何成长壮大的？（数学是人类理性认知的力量源泉）（2） 数学发展的累积性，使数学体系庞大。 （数学还是统一的吗？数学脉络是什么？学习数学学习什么？）3 数学的文化特点：1 抽象性（形式化） 、精确性（逻辑性） 、理论性（公理化）2 模式化（算法） 、应用性（描述世界的方式）3 创造性、艺术性、文化性5 什么是数学？（古希腊）亚里士多德：数学是量的科学。（17C）笛
2、卡儿：凡是研究顺序与度量为目的的科学都与数学有关（19C）恩格斯：数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学（20C 初）罗素：形式化定义，不管研究的内容是什么能否理解，只管逻辑是否正确。（20C5060）前苏联数学家：修正恩格斯定义为：量之间可能的关系。（20C80）美国数学家：数学是关于模式的科学第 1 章 人类早期文明与数学发展第一节 数与形概念的产生不同文明的起源古希腊、埃及：测地与测量；古印度：宗教；古中国：天文观测第二节 河谷文明和早期数学1 河谷文明：沿着著名的河流和谷地地区发展的人类早期的文明，包括埃及、美索不达米亚、中国和印度。特点：河流与平原；地域：西方与东方2 埃及数学：
3、背景：数学是埃及文明的一部分。 （埃及金字塔为埃及的数学褶褶生辉，几何学为尼罗河边的金字塔催生）文献：埃及数学的文献主要是两部纸草书。主要记载关于现实生活的数学问题。 （两部纸草书：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。两部纸草书都是用僧侣文写成的。前者包括 84 个数学1问题，后者包括 25 个数学问题。 ）成果：代数：（象形文字僧侣文）十进制记数系统（但没有位值制） ；单位分数；四则运算；一、二次方程。特点：运算复杂几何：几何内容大都与土地面积和谷堆体积计算相关。可以找到关于“正方形、矩形、等腰梯形”等图形的面积公式；对圆面积给出了很好的近似，初等三角的萌芽等。其中给出了“平截头方锥体”的体积公式是
4、一个了不起的成果（最伟大的金字塔） 。小结：埃及数学的特点埃及数学产生于生产实践，以问题的形式来表现，是实用数学。算术运算繁琐复杂，几何计算结果粗糙。古埃及还没有命题证明的思想，不过常常对问题的数值结果加以验证。埃及数学具有与王朝更迭相应的相对静止的特性，缺乏发展性。3 美索不达米亚数学的早期发展知识理解：背景：两河流域灌溉的美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一，那里创造了伟大的“美索不达米亚”文明。文献：泥版文书（楔形文字） 。时期：主要集中在古巴比伦时期（公元前 2 千头几个世纪）和新巴比伦和波斯王朝时期（公元前 1 千后几个世纪） 。数与代数：记数系统：60 进制为主的记数系统，采用了
5、位置制，位值原理用于分数；计算：发展算法，数表；代数：熟练处理二次三项式，简单的三次方程，使用代换方法。几何：给出了一系列几何图形和形体的面积、体积计算公式，多采用近似公式；对圆面积有很好的近似；会使用勾股定理；普林顿 322 所讨论的“整勾股数”表现了理论的倾向。小结：美索不达米亚文明中数学的特点：美索不达米亚文明创造了辉煌的数学成果。不过，与埃及数学一样这些成果主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期。几何学主要是计算，属于算术的应用。第 2 章 古代希腊数学主要成就：21 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前 625前 547） 泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证
6、之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理” 。毕达哥拉斯（前 580前 500） 毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。普鲁克鲁斯在评注中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。其方法最著名的猜测是“面积剖分法” 。 （2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体） 。以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书 36 页注） 。 （3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数” （这里指整数） ，并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。该学派还有关于
7、“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神， “形数”体现了数与形的结合。 （4）发现了不可公度量。2 雅典时期的希腊学派活动这一时期，雅典是希腊的政治经济文化中心，学派林立（这些学派有哪些？） 。这一时期的主要成就表现在下面的一些方面：一 三大几何问题：化圆为方 倍立方体 三等分任意角（你知道这些问题的具体含义吗？）在化圆为方的研究中诡辩学派的代表人物安提丰产生了“穷竭法”的思想而被称为“穷竭法”的始祖。关于被倍立方体问题，柏拉图学派的梅内赫莫斯发现了圆锥曲线。但是，真正对问题的解决是到了 19 世纪，数学家才弄清三大问题是不可解的。二 无限的早期探索：主要以芝诺悖论为代表，提出了四个悖
8、论， （具体是什么？）3 亚历山大学派希腊数学黄金时代（前 338 年前 30） （重点）主要人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯欧几里得.希腊论证几何学的集大成者。原本是数学史上的一座丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想。阿基米德（前 287前 212）阿基米德的成就涉及数学、力学和天文学，有流传于世的丰富文稿，其中数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题阿波罗里奥斯（前 262前 190）主要贡献涉及几何学和天文学，最主要的是数学成就，创立了完美的圆锥曲线理论，直至 17世纪笛卡儿和帕斯卡之前无人超越。34 亚历山大后期（公元 30 年公元 6 世纪）和希腊数学的
9、衰落从论证数学转向实用的数学海伦：主要讨论几何图形的面积和体积计算，如海伦公式（阿基米德发现，命名是海伦公式） 。建立三角学：代表人物是托勒枚大成：弦表和托勒枚定理，他是第一个有明确的构造原理并流传于世系统的三角函数表。5 本章研讨题目1、 希腊文化与理论数学的起源2、 “穷竭法”的历史起源及其价值3、 “圆锥曲线”的历史起源4、 “公理化”思想方法的起源与发展5、 托勒枚“弦表”算法与三角公式第 3 章 中世纪的中国数学中国古代数学成就与特点：1 中国传统数学的主要特征是什么？几次发展高潮是哪几个时期？2周髀（bi）算经有哪些主要贡献，谈谈赵爽的勾股定理的证法。3九章算术有哪些突出贡献及重要
10、意义？4 刘徽有哪些主要数学贡献及其意义？5 祖冲之父子的主要数学贡献及其意义？6 隋唐时期中国数学有哪些发展？7 宋元“四大家”的主要贡献有哪些及其重要意义？8 概述中国传统数学在高次方程数值求解的发展。9 概述中国传统数学在方程方向的发展。10 中国传统数学落后的原因有哪些？主要内容：我国古代数学具有的特点是:实用性;算法化;模式化中国数学，从公元前后至公元 14 世纪，先后经历那三次发展高潮，即两汉期、魏晋南北朝时期和宋元时期，其中宋元达到那顶峰。两汉时期（西汉：前 20623，东汉：25220）：两汉时期的数学主要沿着实用与算法的方向发展。周髀算经：公元前 2 世纪之前，是我国最早的一
11、部数学著作，涉及数学和天文学，数学知识主要有分数运算、勾股定理及其在天文学上的运用，其中突出的论述是勾股定4理。中国最早证明勾股定理是公元 3 世纪三国时期的赵爽，运用面积出入相补原理证明。九章算术：中国古典数学最重要的数学著作，最早形成中国古典数学体系。成书在公元前 1 世纪之前。据考证， 九章算术是从先秦至西汉中期，经过众多学者编纂、修改二成的一部数学著作。魏晋南北朝时期（220581）：其中最杰出的代表有刘徽和祖冲之父子。刘徽，3C，魏晋人， 九章算术注 ，其中包含许多独立的创造，最著名的是“割圆术”和体积理论。割圆术：作为计算周长、面积以及圆周率的基础，割圆术的要旨在于用圆内接正多边形
12、去逼近圆.刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。“出入相补”：一个几何图形（平面和立体的）被分割成若干个部分后，面积或体积的总和保持不变。祖冲之父子：重要贡献是球的体积的推导和圆周率计算， 缀术 。圆周率：精确到 6 位有效数字，获得了小数点后的七位的上下限。约率 ，密率)72(。)135(球体积公式推导：祖氏原理（西方称卡瓦列尼原理） 。问题：阿基米德和祖氏都得到了正确的球体积公式，谁更早得出？隋唐时期：主要是数学教育制度的确立和数学典籍的整理。算经十书：周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 张邱肩算经 、 夏侯阳算经 、 五曹算经 、 五经算经 、 缀术
13、 、 辑古算经 。孙子算经：其中关于“物不知数”问题是关于一次同余组一般解法剩余定理的特殊形式，这个问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法“大衍求一术” 。问题：中国剩余定理最早出现在哪部书中？张邱建算经：讨论不定方程问题。辑古算经：最早讨论三次方程组代数解法。宋元时期（9601386）：宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。高次方程数值解是宋元数学的突出成就之一。贾宪三角（杨辉三角，帕斯卡三角 1654）和增乘开方法（霍纳算法 1819） ；5秦九韶（约 12021261） ，四川安岳人。高次方程数值求解集大成者。“大衍总数术” ，是一次同余式的一般解法， ，这个解法后来被称着中国剩
14、余定理。在几何方面的另一项杰出成果是“三斜求积术” 。 数书九章的“正负开方术”,“大衍求一术”达到了当时数学的最高成就。朱世杰（1300 前后）：是一位平民数学家和数学教育家。算学启蒙 （1299） （通俗数学著作）和四元玉鉴 （1303） ，突出的成就有“招差数”（即高次内插法） ， “垛积术” （高阶等差级数求和） ， “四元术” （多元高次联立方程组与消元解法） 。李冶， 测圆海镜 （1248） 益古演段 （1259） ，系统阐述天元术（一元方程的解法） ，天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。反映了代数符号化的尝试。元末以后，中
15、国传统数学骤转衰落。落后的原因主要有：封建社会的社会局限性阻碍了数学的发展，数学的社会地位低下，数学发展缺乏社会的动力和新思想的刺激。数学内部的局限性也限制了数学的发展：筹算系统的复杂性；缺乏演绎的算法倾向也难以升华为现代数学。第 4 章 印度与阿拉伯数学线索：1 印度数学发展的三大重要时期是什么？2 绳法经有哪些主要数学成果？3 “巴克利沙手稿”有哪些主要数学成果？4 “0”号的发明和传播过程是怎样的？5 “悉檀多”时期的印度数学有哪些方面的成果？6 “悉檀多”时期的主要代表人物及其数学成果？7 花拉子米代数学上的主要数学成果？8 阿拉伯在高次方程数值求解上有哪些主要数学成果？9 阿拉伯在三
16、角学和几何学上有哪些发展？主要内容：一、印度数学：1 印度数学三个重要时期：达罗吡荼人时期（约前 3000前 1400） ，史称河谷文化；吠托时期（约前 10 世纪前 3 世纪） ；悉檀多时期（5 世纪12 世纪） 。吠托时期绳法经：最早可考文字是婆罗门教的经典吠陀 ，其中关于庙宇、祭坛设计与测量的部6分为绳法经 （测绳法规 ） （约前 8 世纪前 2 世纪） ，包括几何和代数计算问题，如勾股定理、矩形对角线性质、相似直线形的性质以及一些作图法等。几何计算导致了求解一、二次代数方程问题，用算术方法给出了求解公式。“巴克利沙手稿”：公元前 2C3C 的印度数学。这一时期的“巴克利沙手稿”涉及丰富的数学内容。特别是：特别是其中使用了一些数学符号，出现了完整的十进制数码，用点表示 0 的符号，后来变为用今天通用的符号。0 是印度数学的一大发明，其他文化
