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1、ECDA BF直角三角形的边角关系复习提纲一,.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中， C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记为 sinA，即 casin斜 边的 对 边 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦，记为 cosA，即 cbcos斜 边的 邻 边锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即 batan的 邻 边的 对 边A锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为 cotA，即 acot的 对 边的 邻 边例：（2012 连云港，3，3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A
2、 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5的角的正切值是 （ ） A. 3+1 B. 2+1 C. 2.5 D. 5【解析】注意折叠后两点对称，也就是说ABE 和AEF 都是等腰三角形。得到 67.5的角为FAB。【答案】设 AB=x,则 BE=x,在直角三角形 ABE 中，用勾股定理求出 AE=EF= 2x,于是 BF=（ 2+1）x.在直角三角形 ABF 中，tanFAB= (1)BFxA= +1=tan67.5.选 B。【点评】根据折叠得到 A、E 关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两
3、线段的长。二,特殊角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。2例 1:（2012，湖北孝感，14，3 分）计算：cos 245+tan30sin60=_【解析】分别把 cos45= 2的值，tan30= 3的值，sin60= 32的值代入进行计算即可答案=1。【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主牢记特殊角的三角函数值是解题的关键例 2:（2011 甘肃兰州，21，7 分）已知 是锐角，且 sin(+15)= ，32计算 的值。1084cos(3.14)tan3【答案】由
4、sin(+15)= 得 =45,原式=22413三， 解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。在 Rt ABC 中，C=90，A、B、C 所对的边分别为 。cba、（1 ）三边之间关系： 22cba（2 ）锐角之间关系：A+B=90（3 ）边角之间关系： , BcAossin ,sincoBbA3, BbaAtan1cotnAabtan1cot（4 ）面积公式： )(21为 斜 边 上 的 高hSABC（5 ）同角的三角函数的关系:sinA2cosA 21 ; tanAcotA1 ; tanA ，cotA AcosinAsinco（6 ）
5、 互为余角的函数之间的关系sin(90A)cosA， cos(90A)sinA， tan(90A)cotA ， cot(90A)tanA在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边） ，就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：在 RtABC 中，C=90已知 选择的边角关系斜边和一直角边 ac,由 ，求A；B=90-A，caAsin 2acb两直角边 b,由 ，求A；B=90-A，bt 斜边和一锐角 c,B=90-A； ；Acasincbos一直角边和一锐角 Aa,B=90-A； ，tai注意： (1)选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式
6、；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。（2 ）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组） ，然后解方程（组） ，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。（3 ）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。例 1:
7、（2012 四川内江，11，3 分）如图 1 所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为( )A 12B 5 C 01 D 25CBA图 14【解析】欲求 sinA，需先寻找A 所在的直角三角形，而图形中A 所在的ABC并不是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接 CD（如下图 2 所示） ，恰好可证得 CDAB，于是有 sinA CDA 210 5例 2:（2011 湖北荆州，8，3 分）在ABC 中，A120，AB4，AC2，则 的值是（ ）BsinA B C D1475571【解析】如图，作 ,延长 BA，过点 C 作 BA 的垂线, 交 BA 的延长线于点 D,
8、 , ,12060A , ，360sinACD 12cosD 5ABD , ,答案选 D.7252B 473inBC例 3: (2012 重庆，20，6 分)已知：如图，在 RtABC 中， BAC=90 ，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形。若 AB=2，求ABC 的周长。 （结果保留根号）【解析】由ABC 是直角三角形和ABD 是等边三角形，可求出C=30,利用三角函数可求出答案。【答案】ABD 是等边三角形B=60BAC=90C=30sinC= BCABC= CABsin=4, cosC= A AC=BCcosC=2 3 ABC 的周长是 6+2 3例 4:（2012 江苏淮
9、安，24，10 分）如图，ABC 中，C=90，点 D 在 AC 上，已知BDC=45，BD=10 2，AB=20求A 的度数 【解析】先根据锐角三角函数的定义，在 RtBDC 中求出 BC 的值，再在 RtABC 中利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数【答案】解：在 RtBDC 中，因为 sinBDC= BCD，所以 BC=BDsinBDC=10 2sin45=10 2 =10在 RtABC 中，因为 sinA= AB= 10= ，所以A=30CBA图 2D120ABDC425四、锐角三角函数及解直角三角形的实际应用（难点）解直角三角形，可将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元
10、素（边、角）之间的关系.一般有以下几个步骤：1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系，细心推理计算。1, 锐角三角函数计算的实际应用仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。例:（2012 山西，23，9 分）如图，为了开发
11、利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端 AB 的距离，飞机在距海平面垂直高度为 100 米的点 C 处测得端点 A 的俯角为 60，然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 500 米，在点 D 测得端点 B 的俯角为 45，求岛屿两端 AB 的距离（结果精确到 0.1 米，参考数据：）解：如下图,过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90，四边形 ABFE 为矩形AB=EF，AE=BF由题意可知：AE=BF=100 米，CD=500 米 2 分在 RtAEC 中，C=60，AE=100 米CE= = = （米） 4 分在 RtB
12、FD 中，BDF=45，BF=100DF= = =100（米） 6 分AB=EF=CD+DFCE=500+100 600 1.7360057.67542.3（米） 8 分答：岛屿两端 AB 的距离为 542.3 米 9 分【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可，解决此类题型的关键是数学转化思想即不规则图形转化为我们所熟悉的特殊图形进行计算难度中等62、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 的比叫做坡度（或坡比） 。坡度常用字母 i 表示。斜坡的坡l度和坡角的正切值关系是： .注意：latn
13、（1）坡度一般写成 1：m 的形式（比例的前项为 1，后项可以是小数） ；（2）若坡角为 a，坡度为 ，坡度越大，则 a 角越大，坡面越陡。alhitn例 1.（2012 湖北咸宁，12，3）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点 为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 1:5i，则 AC 的长度是 cm【解析】如图，过点 B 作 BDAC 于 D，依题意可求得AD60cm，BD54cm；由斜坡 BC 的坡度 i1：5，求得 CD270cm，故 ACCDAD27060210（cm）【点评】本题主要考查
14、了解直角三角形的应用：坡度问题此题难度适中，注意掌握坡度的定义、数形结合思想的应用与辅助线的作法例 2. （2011 山东潍坊，19，9 分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下 A 点出发沿斜坡 AB 到达 B 点，再从 B 点沿斜坡 BC 到达山顶 C 点，路线如图所示.斜坡 AB 的长为1040 米，斜坡 BC 的长为 400 米，在 C 点测得 B 点的俯角为 30,.已知 A 点海拔 121 米，C 点海拔 721米.（1）求 B 点的海拔；（2）求斜坡 AB 的坡度.【解】 （1）如图所示，过点 C 作 CFAM，F 为垂足，过点 B 作 BEAM，BD
15、CF，E、D 为垂足.在 C 点测得 B 点的俯角为 30，CBD=30，又BC=400 米，CD=400sin30=400 =200（米）.12B 点的海拔为 721200 =521（米）.（2）BE=52 1121=400（米） ，AB=1040 米， （米）.222204960AEBAB 的坡度 =1：2.4，所以斜坡 AB 的坡度为 1：2.4.596ihlaABC30187O东东DA测测 CB3,方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点） ，以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线 0A、0B、0C 的方向角分别为北偏东 15、南偏
