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1、2011 年中考数学二轮复习-代数几何综合题、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题、典型例题剖析【例 1】（温州，12 分）如图，已知四边形 ABCD 内接于O，A 是BDC 的中点，AEAC 于 A，与O 及 CB 的延长线分别交于点 F、E，且BF=AD，EM 切O 于 M。 ADCEBA; AC2 BCCE；12如果 AB2，EM3，求 cotCAD 的值。解:四边形 ABCD 内
2、接于O，CDAABE，BF=AD，DCABAE ，CADAEB 过 A 作 AHBC 于 H(如图)A 是 中点， HCHB BC，DC12CAE90 0，AC 2CHCE BCCE12A 是 中点，AB2，ACAB2，ABEM 是O 的切线，EBECEM 2AC 2 BCCE，BCCE8 12得：EC(EBBC)17，EC 217EC 2AC 2AE 2，AE 17 22 13CADABE，CADAEC，cotCADcotAECAEAC 132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的此题表现的非常突出如，将CAD 转化为AEC 就非常关键.【例 2】（自贡）如图 252 所示，已
3、知直线 y=2x+2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC=90 。过 C 作 CDx 轴，D为垂足（1）求点 A、B 的坐标和 AD 的长；（2）求过 B、A、C 三点的抛物线的解析式。解：（1）在 y=2x+2 中分别令 x=0，y=0得 A（l，0），B（0，2）易得ACDBAO，所以 AD=OB=2（2）因为 A(1，0），B（0，2），且由（1），得 C（3,l）设过过 B、A、C 三点的抛物线为 2yaxbc所以 560172 9312abcbc， 解 得所以 2576yx点拨：此题的关键是证明ACDBAO【例 3】（重庆
4、，10 分）如图，在平面直角坐标系内，已知点 A（0，6）、点 B（8，0），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动,设点 P、Q 移动的时间为 t秒(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似？ (3) 当 t 为何值时，APQ 的面积为 个平方单位？524解：（1）设直线 AB 的解析式为 yk xb由题意，得 解得 b=680k346所以，直线 AB 的解析式为 y x6 （2）由 AO6， BO8 得 AB10所以 AP
5、t ，AQ102 t 1 当APQAOB 时，APQAOB所以 解得 t (秒) 6t10t1302 当AQPAOB 时，AQPAOB所以 解得 t (秒) t2t35（3）过点 Q 作 QE 垂直 AO 于点 E在 RtAOB 中，SinBAO ABO54在 RtAEQ 中，QEAQSinBAO(10-2 t) 8 t 所以，S APQ APQE521t(8 t)2158 4 t 解得 t2（秒）或 t3（秒） （注：过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E 也可，并相应给分）点拨：此题的关键是随着动点 P 的运动，APQ 的形状也在发生着变化，所以应分情况：APQAOB90 APQABO这
6、样，就得到了两个时间限制同时第（3）问也可以过 P 作 PEAB【例 4】（南充，10 分）如图 257，矩形 ABCD 中，AB8， BC6，对角线 AC 上有一个动点 P（不包括点 A 和点 C）设 AP x，四边形PBCD 的面积为 y（1）写出 y 与 x 的函数关系，并确定自变量 x 的范围（2）有人提出一个判断：“关于动点 P， PBC 面积与 PAD 面积之和为常数”请你说明此判断是否正确，并说明理由解：（1）过动点 P 作 PE BC 于点 E 在 Rt ABC 中， AC10， PC AC AP10 x PE BC， AB BC， PEC ABC故 ，即 ACBE.548,1
7、08x PBC 面积 .22P又 PCD 面积 PBC 面积 .4x即 y ， x 的取值范围是 0 x10 548（2）这个判断是正确的 理由： 由（1）可得， PAD 面积 .512x PBC 面积与 PAD 面积之和24 点拨：由矩形的两边长 6,8可得它的对角线是 10，这样 PC10x，而面积 y 是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：PBC、PCD这样问题就非常容易解决了. 、综合巩固练习（100 分 90 分钟）1、如图 258 所示，在直角坐标系中，ABC 各顶点坐标分别为A （0， ）， B（1，0）、C（0，1）中，若DEF 各顶点坐3标分别为 D（ ，0
8、）、E（0，1）、F（0，1），则下列判断3正确的是（ ） ADEF 由ABC 绕 O 点顺时针旋转 90 得到;BDEF 由ABC 绕 O 点逆时针旋转 90 得到;CDEF 由ABC 绕 O 点顺时针旋转 60 得到;DDEF 由ABC 绕 O 点顺时针旋转 120 得到2如图 259,已知直线 y=2x1 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，直线 y=2x1 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 D 点，试判断四边形 ABCD 的形状3如图 2510 所示，在矩形 ABCD 中，BD=20，ADAB，设ABD=，已知 sin 是方程 25z235z+ 12=0 的一个实根点
9、 E、F 分别是 BC、DC 上的点，EC+CF=8，设BE=x，AEF 面积等于 y. 求出 y 与 x 之间的函数关系式； 当 E、F 两点在什么位置时 y 有最小值？并求出这个最小值4（10 分）如图 2511 所示，直线 y= x+ 4 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N43（1）求 M、N 两点的坐标；（2）如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心， 为半径的圆与直线 y= x+ 4 相切，求125 43点 P 的坐标5（10 分）如图 25-12 所示，已知等边三角形 ABC 中，AB=2，点 P 是 AB 边上的任意一点（点 P 可以与点 A 重合，但不与点 B 重合），过点
10、P 作 PEBC垂足为 E；过点E 作 EFAC，垂足为 F；过点 F 作 FQAB，垂足为 Q设 BP=x，AQ=y 写出 y 与 x 之间的函数关系式； 当 BP 的长等于多少时，点 P 与点 Q 重合； 当线段 PE、FQ 相交时，写出线段 PE、EF、FQ 所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）6（12 分）如图 2513 所示，已知 A 由两点坐标分另为（28，0）和（0，28），动点 P 从 A 点开始在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O 运动，动直线 EF 从 x轴开始以每秒 1 个长度单位的速度向上平行移动(即 EFx 轴)并且分别交 y 轴，线段
11、AB交于 E、F 点连接 FP，设动点 P 与动直线 EF 同时出发，运动时间为 t 秒 当 t1 秒时，求梯形 OPFE 的面积，t 为何值时，梯形 OPFE 的面积最大，最大面积是多少？ 当梯形 OPFE 的面积等于APF 的面积时，求线段 PF 的长 设 t 的值分别取 t1，t 2时（t 1t 2），所对应的三角形分别为AF 1P1和AF 2P2 ，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断7（12 分）如图 2514 所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点，A 的坐标为(1，0)，对角线的交点 P 的坐标为（ ，1）52 写出 B、C、D 三点的坐标； 若在 AB 上有一点 E
12、 作，入过 E 点的直线将矩形 ABCD 的面积分为相等的两部分，求直线 l 的解析式； 若过 C 点的直线 将矩形 ABCD 的面积分为 4：3 两部分，并与 y 轴交于点 M，求过点lC、D、M 三点的抛物线的解析式8（10 分）已知矩形 ABCD 在平面直角坐标系中，顶点 A、B、D 的坐标分别为A（0，0），B（m，0），D（0，4）其中 m0 写出顶点 C 的坐标和矩形 ABCD 的中心 P 点的坐标（用含 m 的代数式表示） 若一次函数 y=kx1 的图象 把矩形 ABCD 分成面积相等的两部分，求此一次函数的解l析式（用含 m 的代数式表示） 在的前提下， 又与半径为 1 的M
13、相切，且点 M（0，1），求此矩形 ABCD 的中l心 P 点的坐标9（10 分）如图 2515 所示，等边三角形 ABC 的边长为 6，点 D、E 分别在边 AB，AC上，且 AD=AE=2，若点 F 从点 B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线 BC 方向运动，设点 F 运动的时间为 t 秒，当 t0 时，直线 FD 与过点 A 且平行于 BC 的直线相交于点G，GE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 H，AB 与 GH 相交于点 O 设EGA 的面积为 S，写出 S 与 t 的函数解析式； 当 t 为何值时，ABGH； 请你证明GFH 的面积为定值10. (10 分)如图 25-16，
14、在矩形 ABCD 中，AB=10。cm，BC=8cm点 P 从 A 出发，沿ABCD 路线运动，到 D 停止；点 Q 从 D 出发，沿 DCBA 路线运动，到 A 停止，若点 P、点 Q 同时出发，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，a s 时点P、点 Q 同时改变速度，点 P 的速度变为 bcm/s，点 Q 的速度变为 d cm/s，图 2517 是点 P 出发 x 秒后APD 的面积 S1（cm 2）与 x（s）的函数关系图象；图2518 是点 Q 出发 xs 后面 AQD 的面积 S2（cm 2）与 x（s）的函数关系图象 参照图 2517，求 a、b 及图中 c 的值； 求 d 的值； 设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm)，点 Q 到点 A 还需走的路程为 y2(cm)，请分别写出动点 P、Q 改变速度后，y 1、y 2与出发后的运动时间 x（s）的函数解析式，并求出P、Q 相遇时 x 的值 当点 Q 出发_s 时，点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm
