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1、1阴影面积的中考试题近年来的中考有关阴影面积的题目不断翻新，精彩纷呈这类问题往往与变换、函数、相似等知识结合，涉及到转化、整体等数学思想方法，具有很强的综合性，本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考一、阴影部分是整体的图形1、直接将阴影部分的面积看成几个规则图形面积的和（差）例 1 （2009 年四川凉山州）如图 l，将 ABC 绕点 B 逆时针旋转到ABC使点A、B 、 C在同一直线上，若BCA=90，BAC=30 ，AB4cm，则图中阴影部分面积为_cm 2例 2 （2010 年浙江杭州，有改动）如图 2，已知ABC，AC=BC=6，C=90 O 是 AB 的中点，O 与 AC，
2、BC 分别相切于点 D 与点E点 F 是O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G则由 DG，GE和 围成的图形面积（图中阴影部分）为_AD分析 如图 2，连结 OD、OE ，易知四边形 ODCE 为正方形，且边长为 3由OD=OF，得例 3 (2010 年湖北十堰)如图 3(1)，(n1)个上底、两腰长皆为 1，下底长为 2 的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形 P1M1N1N2 面积为 S1，四边形 P2M2N2N3 面积为S2，四边形 PnMnNnNn1 面积为 Sn，通过逐一计算 S1，S 2，可得 Sn_22、利用平移、轴对称、旋转变换化难为易(1)平移
3、变换例 4(2009 年浙江嘉兴，有改动 )如图 41，P 内含于 O，O 的弦 AB 切P 于点 C，且 AB OP若弦 AB 的长为 6，则阴影部分的面积为_分析 将P 沿着 PO 方向平移直至两圆心重合，从而将阴影部分的面积转化为圆环的面积( 如图 42)由垂径定理，得3(2)轴对称变换例 5 (2010 年浙江台州) 如图 5，正方形 ABCD 边长为 4，以 BC 为直径的半圆 O 交对角线 BD 于点 E则阴影部分面积为(结果保留 )_分析 连结 AC，则 AC 过点 E由对称性可知 AB、AE 和 围成的图形面积与阴ABE影部分的面积相同例 6 (2010 年安徽芜湖 )芜湖国际
4、动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计，如图 6(1)，他在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边三角形 BCE并与正方形的对角线交于F、G 两点，制成如图 6(2)的图标则图标中阴影部分图形 AFECD 的面积_分析 过点 F 作 FHAB 于点 H(如图 6(1)，易知 AHF 为等腰直角三角形，ABF 30设 FHx，则 AHx ，BH x34(3)旋转变换例 7 (2009 年山东潍坊) 如图 7，在 RtABC 中，ABC90，AB8cm BC 6cm ，分别以点 A、C 为圆心，以 的长为半径作圆，将 RtABC 截2AC去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为( )cm2(A)
5、 (B) (C) (D) 254452456分析 易求AC 90，AC 10将A 中的扇形绕 AC 的2BC中点顺时针旋转 180后，则可拼成 圆，于是，14故选 A3、估计阴影部分的面积例 8 (2009 年甘肃庆阳 )图 8 中一段抛物线 ACB 是二次函数 y 12x22 的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与 x 轴所围成的图形面积为 S，试求出 S 取值的一个范围分析 如图 8，这段图象与 x 轴的交点为 A(2，0) 、B(2，0)，与 y 轴的交点为C(0，2)设 P(x，y)在图示抛物线上，则OP2x 2y 2 (42y)y 2(y1) 23由 0y2，得 3OP 24这段图
6、象在图示半径为 、2 的两个半圆所夹的圆环内，所以 S 在图示两个半圆面积之间，即故 ” 、 “”或“”)分析 将图 9(1)中正方形卡片 C 向左平移至盒底的左上角 (如图 9(3)，将 9(2)中正方形卡片 B 向下平移至盒底的右下角 (如图 9(4)，可见 S1 S2(2)轴对称变换例 10 (2010 年山东临沂)正方形 ABCD 边长为 a，点 E、 F分别是对角线 BD 上的两点，过点 E、F 分别作 AD、AB 的平行线，如图 10 所示，则图中阴影部分的面积之和等于_分析 因为正方形 ABCD 是轴对称图形，所以将BCD 内的阴影部分沿着直线 BD 翻折 180后会与ABD 内
7、的空白部分重合在一起，故拼成了ABD，其面积为正方形 ABCD 面积的一半，即阴影部分的面积之和等于 12a2例 11 (2009 年湖南娄底 )如图 11，O 的半径为 2，C 1 是函数 y 12x2 的图象，C 2 是函数 y x2 的图象，则阴影部分的面积是_分析 因为O 关于 x 轴对称，抛物线 y 1x2 与抛物线 y 12x2 亦关于 x 轴对称，所以将位于 x 轴下方半圆内的阴影部分沿着 x 轴翻折 180后会与位于 x 轴上方半圆内的空白部分重合在一起，故拼成了半圆，其面积为O 面积的一半，即阴影部分的面积是 2(3)旋转变换例 12 (2009 年广西桂林、百色 )如图 1
8、2， ABCD 中，AC、BD 为对角线，BC6，BC 边上的高为 4，则阴影部分的面积为( )(A)3 (B)6 (C)12 (D)24分析 因为 ABCD 是中心对称图形，所以所以将ABC内的阴影部分绕着对角线的交点旋转 180后会与CDA 内的空白部分重合在一起，故拼成了CDA，其面积为 ABCD 面积的一半，即阴影部分的面积之和等于 12，故选 C例 13 (2009 年四川绵阳) 如图 13，ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角形，直角6边 AB 是半圆 O1 的直径，半圆 O1 过 C 点且与半圆 O1 相切，则图中阴影部分的面积是( )(A) (B) 2736a2536a(C
9、) (D) 分析 连结 PD，AE( 如图 13)，易知CPD 和ABE 均为等腰直角三角形，所以将O 2 内的阴影部分绕着圆心 O2 顺时针旋转 90与弓形 DP 重合在一起，将O 1 内的阴影部分绕着圆心 O1 逆时针旋转 90与弓形 EA 重合在一起，拼成了四边形 AEDP连结 O1O2，设O 2 的半径为 x，则故选 D(4)组合变换例 14 (2010 年四川巴中 )如图 14 所示，以六边形的每个顶点为圆心， 1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_分析 由于无法知道每个扇形的圆心角，若逐一计算，显然将无法求解图中六个小扇形的半径相同，而且六边形的内角和为 720，运用整体思想，把
10、六个小扇形组合在一起，拼成两个整圆，所以图中阴影部分的面积为 2例 15 (2010 年云南昆明 )如图 15，在ABC 中，ABAC，AB8，BC12，分别以 AB、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )分析 可看成在ABC 上覆盖以 AB 为直径半圆和以 AC 为直径半圆，因为 ABC 内的阴影部分被半圆覆盖两次，所以，故选 D72、利用等积变换逐个求解阴影每一部分的面积例 17 (2008 年浙江温州) 如图 16，点 A1，A 2，A 3，A 4 在射线 OA 上，点B1，B 2，B 3 在射线 OB 上，且 A1B1A 2B2A 3B3，A 2B1A 3B2A 4B3 若
11、A 2B1B2，A3B2B3 的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为_即图中三个阴影三角形面积之和为 10.53、估计阴影部分的面积例 18 (2008 年浙江杭州 )如图 17，记抛物线 yx 21 的图象与 x 正半轴的交点为A，将线段 OA 分成 n 等份设分点分别为 P1，P 2， Pn1 ，过每个分点作 x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 Q1，Q 2，Q n1 ，再记直角三角形 OP1Q1，P 1P2Q2，的面积分别为 S1，S 2，这样就有 S1 ，S 2 ；记S 1S 2S n1 ，当 n334越来越大时，你猜想 W 最接近的常数是( )(A) (B) (C) (D)34分析 如图 17，抛物线 yx 21 的图象与 x 正半轴的交点为A(1，0)，与 y 轴的交点为 8(0，1)8设抛物线与 y 轴及 x 正半轴所围成的面积为 S，M( x，y)在图示抛物线上，则 22OM1y 234由 0y1，得 OM21这段图象在图示半径为 、1 的两个 圆所夹的圆环内，所以 S 在图示两个圆 面34 14积之间，即从而 S 3164显然，当 n 的值越大时，W 的值就越来越接近抛物线与 y 轴和 x 正半轴所围成的面积的一半，所以W 328与其最接近的值是，故本题应选 C
