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1、（转）科大学长对数学系学弟学妹的忠告(2007-05-19 12:47:22)分类：数学知识有些科大学生，尤其是新生，抱怨科大教材偏难；而且新生通常缺乏学习方法， 对如何在大学中学习还没有清楚的概念。下面是一位科大数学系学长给科大数学专业学生的一些建议。我转发过来， 仅供参考。1、老老实实把课本上的题目做完。其 实说科大的课本难,我以为这话不完整。科大的教材,就数学系而言还是讲得挺清楚的,难的是后面的习题。事实上做 1 道难题的收获是做 10 道简单题所不能比的。2、每门数学必修课至少要看一本参考书,尽量做一本习题集。3、数学分析别做吉米，除非你太无聊,推荐北大方企勤的习题集。此外注意一下有套
2、波兰的数学分析习题集，是不是搞得到中文或英文版。4、线性代数推荐普罗斯库列科夫的和法捷耶夫的。莫斯科大学要求把上面的题全做光。建议大家在搞定亚洲第一难书的同时也把里面的题打通。5、解析几何不要不重视。现在有种削弱几何课的倾向,甚至有的学校把解析几何课改成只有两课时,这样一来,几何训练不足,会很吃亏的。6、常微要看看阿诺尔德的书,打通菲利波夫的习题集。7、数论课是很重要的,起码可以锻炼思维能力。8、数学分析、线性代数、解析几何、泛函、拓扑、抽象代数、 实变、微分几何是最重要的课,大家脱层皮也要学好。要尽量加强这方面的工底,不然的话以后很吃亏。9、有时间去物理系多听课,千万不要毕业了连量子力学也不
3、懂,这样的数学家注定要被淘汰的。读读费曼物理讲义和郎道的理论物理教程。10、华罗庚的的前言大家好好看看,多多领会!11、想读数理统计和计算数学的要注意,统计和计算数学同样是数学类的专业,不要以为加上计算和统计就可以降低要求。12、推荐一些参考书：B.A.卓里奇数学分析(第一卷有中文版,第二卷未翻 译,会俄文的一定要看)S.M.Nikolsky,A course of mathematical analysis(有中文版 )A.I.Kostrikin,Introduction to algebra(有中文版)M.Postnikov,Analytic geometry(有中文版)M.Postnik
4、ov,Linear algebra and differential geometry(有中文版)G.H.Hardy,An Introduction to the Theory of NumbersV.I.Arnold,Ordinary differential equation(有中文版)H.嘉当,解析函数论初步Kolmogorov,Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis(有中文版,亚马逊上出售英文版,20 美元一套)Fomenko,Differential geometry and topologyKelley
5、,General Topology(有中文版)Bott,Differential forms in algebraic topology莫宗坚代数学Atiyah,Introduction to Commutative Algebra(有中文版)Riesz,Functional Analysis(有中文版)Landau,Mechanics(有中文版)Goldstein,Classical Mechanics(有中文版)Landau,The Classical Theory of Fields(有中文版)Jackson,Classical Electrodynamics(有中文版)Landau,S
6、tatistical Physics Part1(有中文版)Kerson Huang,Statistical MechanicsLandau,Quantum Mechanics(Non-relatisticTheory)(有中文版)Greiner,Quantum Mechanics:A Introduction(有中文版)黄昆固体物理学Kittel,Introduction to Solid State Physics(有中文版)费曼费曼物理讲义玻恩光学原理王梓坤概率论基础及其应用方企勤数学分析习题集普罗斯库列科夫线性代数习题集法捷耶夫高等代数习题集菲利波夫常微分方程习题集沃尔维科斯基复变函数
7、习题集鄂强实变函数的例题与习题符拉基米诺夫偏微分方程习题集巴兹列夫几何与拓扑习题集菲金科微分几何习题集 1,迪亚库的天遇-混沌与稳定性的起源，上海科技教育出版社。这本书的内容是关于自牛顿时代以来，数学家探索一个经典的数学物理难题：三体问题的历史，很多新生可能以为数学家就是陈景润那样玩些和实际生活不相关问题的怪人，其实真正好的数学是要能够解决人类科学研究和实际生活中提出的各种数学问题的数学，数学不能离开工程和科学,现代工程技术和自然科学（也包括社会科学）是数学研究活的源泉，这本书里面的三体问题就是关于计算三个天体的运动轨道的问题，这个问题的研究就是现代动力系统理论的起源，甚至说现代的拓扑学也与此
8、大有关系，庞加勒的经典著作位置分析很大程度上是为他的天体力学讲义提供数学工具，你们可以在这里看见很多数学大师的踪影：庞加勒，柯尔莫哥诺夫，阿 诺尔德还有我国的年轻数学家夏志宏。 2,数学它的内容，方法和意义，科学出版社。这套书一共三本，是由多位俄罗斯著名数学家集体编写的，包括了二十世纪最优秀的数学家柯尔莫哥诺夫先生以及亚历山德罗夫先生、沙法列维奇先生、索伯列夫先生、盖尔范德先生等数学大师。基本上 对大学本科的基础课程都做了一个简介，还推荐了一些参考书，这些书大部分国内都可以找到。 3，外尔的对称，上海科技教育出版社。外尔也是二十世纪最优秀的数学家之一，据说是懂得物理最多的数学家，这本书当然也是
9、值得一读的了。 4，克莱因 古今数学思想，科学出版社。关于数学历史的名著，不过这本书对以刘徽为代表的中国古代数学的辉煌成就比较忽视。高中数学竞赛学习与大学数学学习的关系(2007-04-26 22:08:21)分类：日记其实我早就想写这么一些东西了。高中的数学联赛一等奖是可以保送上大学的，自然受到了很多人的关心，虽然 2007 年可能将成为最后一年的省一等奖保送。面对我们曾经奋战过的沙场，曾经的泪水、欢笑、无奈和欢喜都成为了道路上不可抹去的标记。首先，我们是在讨论数学系的学习。南开大学李成章教授曾说，数学联赛每年全国一千多一等奖，不可能都去学数学；正因为这样，通过数学竞赛培养出的能力才能播撒到
10、各行各业。但如果仅仅从大学知识的学习角度来说，这恐怕是浪费了：自从到了数学系后，才发现非数学系所学的数学根本就不是数学，因为一点灵魂都没有。所以，我们只说数学系的知识。数学竞赛的知识被分为代数、几何、数论、组合四个方面。按照常理，每一个题目都应该有相应的数学背景。以前一直认为出竞赛题的都是做基础数学的，后来才发现很多题目的数学背景是应用、甚至计算数学的。代数：高中所说的代数其实和数学界的代数有很大的差别。高中的代数其实更多的是分析学，包括不等式与最值、数列、复数和函数方程。不等式当然是很重要的，因为“极限的本质是不等式”，而极限的概念可以说是分析学的基础了。我的不等式学的不是很好，当年有很多题
11、目都自己做不出来，不过有些题目据说考 CMO时也是绝大多数选手做不出来。笼统的说，不等式大体分为对称的和非对称的。有轮换对称性的很多是计算范数的产物，也有可能是一些积分不等式简化或可以被推广为积分不等式。我们熟悉的 Cauchy 不等式、均值不等式、排序不等式、Minkovsky 不等式、Holder 不等式、Young 不等式当学习度量空间的相关性质的时候就知道这些东西是多么有用了，度量和收敛能不能算出来就是看范数了！非对称的也许就是极限理论了，只是变成了条件不等式罢了，况且当时这类型题目做的不多，就不多说了。至于数列，本身就比较杂一些，最近学数学模型时发现 Fabonacci 数列在实际生
12、活中有很多例子，有些很多实际问题就是在讨论 Fabonacci 数学的一些性质。记得当时有人总结了很多 Fabonacci 数列的初等性质，现在看来也是一项很久价值的工作。再有就是极限理论了。很多序列是求不出部分和的，所以讨论定性性质也是很有价值的。至于复数，本身他和几何有一定的联系，还有就是那个 i 到底是什么意思，再有就是用其他方面的知识了。函数方程本身就是一个研究方向，不过高中的时候也就只能研究一些初等的性质了。几何：主要是说平面几何了。陈省身先生曾经说过，综合的几何是“裸体人”，坐标的几何是“原始人”，流形的几何是“现代人”。当然，我们当时只是裸体人了，而根本看不到现代人的身影，反倒是
13、越原始的工具越好用。但自我感觉我这个裸体人还是当的相当不错的，偶尔进化到原始人也是很不情愿的。身为裸体人的本质是便是依靠技巧制胜，但当时所用的方法现在好像已经都不适合了。难怪人家都所平面几何是被淘汰的内容，只应该被写在历史教科书里。就全当练习思维和能力了。但也许有时候有一些流形上的“现代人”也会被简化一下，让我们用“裸体人”的手段去解决。最近学习微分几何，有一些结论就是我们说熟悉的初等几何体的性质直接倒着推导回去就 OK 了。数论：主要是初等数论。我们学的确实够初等的，连二次互反率都没有。所以就完全依靠技巧上了。不过整数是可以构成环（Ring）的，而多项式也构成环，这样对学习高等代数、抽象代数
14、也许会有一些帮助，但和真正的前沿的数论还是有差别的。呵呵，我还是很想把冯克勤的代数数论读完的，不过太难了，也许还要等一些时间了。不是我数论学的好，而是我周围的大多数人不怎么学数论因为课本上没有相应的知识，学一些总是比不学强的，但我对自己的数论水平是很不满意的。组合：上高中时就感觉组合没有什么成形的理论，完全是技巧。即使大学的组合论感觉理论性也不是特别强。但很多算法在研究程序、算法、数据结构的时候还是很有用的，怪不得布鲁迪的组合数学被算做计算机的教材。今天有一个同学考我一个编程题：找出第 n 行 Pascal 三角形中能够被质数 p 整除的数的个数。这当然不能死算了，所以要好好分析。p(n!)=
15、np+n(p2)+n(p3)+.这个公式很有用，如果考察不能被 p 整除的数的个数就可以讨论一下a+b=a+b中等号成立的条件，这样就把问题化成了原问题的反问题，而且计算量也大大下降。如果熟悉 Gauss 取整的性质这一切应该很快就能完成的。但大学的正常教学中却决不会教授这些东西。所以我的同学想拿这个问题来为难我就失败了。这只是一个具体的例子，总是当时的很多结论是很有用的。但现在总在感叹当时为什么没有多学一些东西，像母函数、图论等，都是很有用的，但连个皮毛都不熟练。不过好在自己以后做基础数学，不会也不至于致命。我到现在就想到这么多了，其实应该还有很多，只是凭借我这种大一、大二（我也不清楚我现在
16、到底大几，教务系统显示是大二）的水平无法理解。以后有什么想法还会不断补充的。原来有时候一个深刻定理的证明这么简单(2007-04-26 17:26:47) 分类：日记原来一直想知道一阶常微分方程中有唯一解的 Osgood 条件的证明，今天终于看到了。本来以为 Lipschitz 条件的证明已经很复杂了（指用 Picard 列，用 Banach 压缩映像原理的也不简单），Osgood 条件的证明一定更难，甚至是非初等的。结果所用到的知识仅仅是大一上学期的，而且复杂程度远低于我的估计。唉，看来自己的思想真的老化了。不过也好，就算给了自己一个教训：用最原始的工具也可以做非常优秀的结果！以上是在丁同仁、李承治的常微分方程教程里看到的。突然发现自己的微分方程其实什么都没有学到，真不知道自己上学期忙了又忙学了又学究竟做了些什么，竟然忽略了那么多重要的理论，就学了一些皮毛。
