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1、以人为本 诚信致远 第一次模拟考试答案 1人信高辅 2010 年考研数学（数学一）模拟题参考答案一、选择题。( 分 )48321、A。令 ，由于 在 上连续，且满足5()sinfxxq()fx,)，lim,lixxf则 在 上至少有一个零点。又 ，则()f,) 4()51cos0fxx(,)在 上单调递增，从而在 上最多有一个零点，故方程x(,5sin0q有且仅有一个实根。2、B方程 ，由 可知 ，214C)xy e的 通 解 为 （ (0),4y2xye从而 。200()xxded3、D。由 知：2(,),lim1cosxyfy。2(,)0, (,)0,2)1lili,(0)sxy xyff
2、f则 。由微分定义可知：22(,),)()(,ffoxyxy在点 可微，且 。xy00,0xff4、A。由幂级数 在 处条件收敛知： 为该幂级数收敛区间的端点，显然，1()2nnxa22x该幂级数收敛半径为 ，则 。 与题目幂级数 在 处R04a或 者 1()2nnxa2条件收敛矛盾，所以 。幂级数 的收敛半径为 。故在 处绝对收敛。a21()nnxRl5、B因为 ，则 ，又 ，则 有非零0ABE)0ABE（ （ ） 0)0AEx（解。于是 ，又有 ， ，则 也有非(TT()TA(TB零解，于是 。()T以人为本 诚信致远 第一次模拟考试答案 26、C. 因为 A 的列向量秩= ，所以 A 命
3、题正确。 ,则 ，而 列满秩，()rm0BTAT所以 只有零解。故 ，所以 B 命题正确。因 ，所以0TY0T ()mrm，故 D 正确命题。因为 A 行满秩， A 经过初等列变换可化为 ，(),)rn (,0)E所以 C 是错误的。7、C由于函数 是 x 的严格单调函数，其反函数 的导函数为 不为零，有公式法可2y2yx12得：。221()()(4)YXfhf yy 8、A由全概率公式及 X 与 Y 相互独立得：12111()(0)0)()(0)222PXYPPYXYPXY。1()()()2二、填空题。( 分)6429、解：(1) ， ，则 为一条斜渐近线；12limlixxyelim()1
4、xyyx(2) , ，则 为一条斜渐近线。12lilixxli()x所以渐近线方程为 和 。y110、解：函数 在 处的梯度 ，沿曲面22uxz(,)M1(,)3gradu在点 M 处的外法线方向的单位向量为 ，所以2zy (,)e。13Mugradel11、解：由对称性可知 ，2sin0Dyxd，2 212014()Dxyrd以人为本 诚信致远 第一次模拟考试答案 3所以答案为 。(2)12、解： 。123()rotgadfxyzfijk013、解法一： 可以通过列变换化为 。(4,5)123,(2,5)10(,)210133解法二： 。( )12323+,+,(,)1234514、解：X
5、服从参数为 的 分布，所以 ，所以(01)p,(1)EXpDp，又因为 为 的无偏估计量，所以2,()EDESpn2kS22()()(1)kSXknn三、解答题。(共 9 大题，94 分)15、解：由 ， 可得： 。令(4(dzxyd(0,)z224zxy。设 。则：20xy得 出 驻 点 -2,) 2,18(18)Fxyy得驻点为 和 。24018xyF(3,)(,)因为 ， ， ，所以 在区域 (,)f(,)6f(,)42f(,)zxy2:18Dxy上的最大值为 8，最小值为-42 。16、 ， 2uxy解 ： ， 则 ： 2()()fufuxy222 31()()zxffxu由对称性知：
6、 ，代入 得：222 31()()zyyffu2 21zzxyxy。即： 。 1()()fufffu()ffu以人为本 诚信致远 第一次模拟考试答案 4齐次特征方程为 21,20令 代入 得,faub()fuf1,0ab则 12()ce由 知，0f12,c故 。()2ue17、解：设 是球面 在第一卦限的部分，其法向量指向球面外侧，则由斯托克斯公式得：2xyz。2222()()()ijkI dSyzdxdzydxxyzyzx A设 分别是 在 三个平面上的投影，其方向均指向与之垂直的坐标轴的负13, ,o方向， ，123123()()()()zddzydx 在由 构成的闭合曲面上应用高斯公式可
7、得 ，123, 1230，所以得： .12312312 4I18、解：(1)将 作以 为周期的周期拓展。利用周期函数的积分性质求得傅里叶系数：()fx，22 201coscos(,.)nnafdxnd 2203axd同理可得： 20si(,.)nbx(2)傅里叶展开式为：，220 21 1()(cosin)(cosin2),03n nafxbxxx 当 时，由 Ditichlet 定理可知傅里叶级数均收敛于, 2(0)()ff于是令 得 。0x2 221136nn以人为本 诚信致远 第一次模拟考试答案 519、证明：(1)由于 在 上连续，则 在 上有最大值 和最小值 。()fx,ab()fx
8、,abMma）若 ，则 ，结论显然成立。Mmb）若 ，由于 ，则 在 上的最大值 和最小值 至少有一个在()f()fx,内取到，不防设最大值 M 在 处取到，则 。(,) )ab()0f（2）反证法：若函数 在区间 I 上的零点不只 个，至少应有 个，不防设为()fxn1n，在区间 上用罗尔定理得 在区间 I 上至少11nx 1,(,2)i ()fx有 个零点，在 的两个零点之间对 用罗尔定理得 在区间 I 上至少有 个零点，()fx)fx(fx1n以此类推得 在区间 上至少有 1 个零点，矛盾。所以假设不成立，原命题成立。()nI20、解：(1)由 得 A 有特征值 ，又有 ，则 A 的特征
9、值 满足rEk()nk重 2E，故 A 还有特征值 1(k 重)，所以二次型的规范型为 。21 22121.knyyy(2) ,可见 B 是实对称矩阵，B 的特征值 和 5(k 重) ，所以 。=3+1(k重 5B可见 B 正定矩阵。21、解：由 2232220(,)(,)(,3)(,)13AAAA， ， ， ，所以可知 。由 ,由此可得0132B01()02EB矩阵 B 的特征值为 , , ，也就是 A 的特征值为 , , 。103 1023由 得出基础解系 ;(0)Ex1(,)T=由 得出基础解系 ;2由 得出基础解系(3)B3(0,)T因为 ，所以可得：11232,1,所以可得12123
10、()(,),01AA ， ，。2123,P，以人为本 诚信致远 第一次模拟考试答案 622、解：(1)由全概率公式可得： 121101013PYXPYPXY所以：2,3(2) , 12430,6CPXY12430,CPXY, 。即(X,Y)的联合分布律为：1243,1243,60 10 1631 36(3)由 (X,Y)的联合分布律得出 X，Y，XY 的分布律分别为：所以 , ,从而得：11,24EXD11,246EYDEXYcov(,)cov(,), 3XY23、解：对于总体 X 的样本值 ，似然函数为：12,.nx，所以对数似然函数为：11(0)01001()()()nni ii i i in xxxxi iLpCpCp，010 0111l()()l()l()i i in nnnxxxi iii i pxp，解似然方程可得: ，因此 p 的最大似然11l ()nni iidLpp 10ni估计量 。A10niXxX 0 1PY 0 1PXY 0 1P 5YX
