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1、1987 年全国硕士研究生入学统一考试一(1)当 x=_时 ,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lny与两直线 e1及 0所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线 yt及 21xyz都平行且过原点的平面方程为_. 2zt(4)设 L为取正向的圆周 29,xy则曲线积分 2(2)(4)LxydxdyA= _.二求正的常数 a与 ,b使等式2001lim1sinxxta成立.三(1)设 f、 g为连续可微函数 ,(,)(),ufyvgy求 ,.uvx四求微分方程 26(9)1ya的通解,其中常数 0.(1)设 2()lim,xaf则在 x处(A) ()f的导数存在 ,且 ()0fa(B
2、) ()fx取得极大值(C) x取得极小值 (D) 的导数不存在(2)设 ()f为已知连续函数 0,(),stIfxd其中 0,ts则 I的值(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 、 t和 x(C)依赖于 、 x,不依赖于 s(D)依赖于 ,不依赖于(3)设常数 0k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 的行列式 |0,aA而 *是 的伴随矩阵，则 *|A等于(A)a (B) 1(C) 1n (D) n 六求幂级数 112nnxA的收敛域，并求其和函数. 七求曲面积分 2(8)(1)4,Iydzydzxy其中
3、 是由曲线 3()0 zfxx绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于 .2 八设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 ()f的值都在开区间(0,1)内 ,且 1,证明在 ()内有且仅有一个 使得 ().f1988 年全国硕士研究生入学统一考试一(1)求幂级数 1(3)nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xff且 ()0x,求 ()及其定义域.(3)设 为曲面 2yz的外侧,计算曲面积分333.IxdyzxdA二、(1)若 21()lim(),txxftt则 ()ft= _.(2)设 连续且30,fdt则 7=_.(3)设周期为 2 的周期
4、函数,它在区间 (1,上定义为 ()fx 2 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 1x处收敛于 _.三、(1)设 (f可导且 0(),2f则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 x低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yf是方程 4y的一个解且 00(),(),fxf则函数()f在点 0处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzRxyz则(A) 124dv (B) 124dvy(C) 12zz (D) 12xzxzdv
5、(4)设幂级数 1()nnax在 1处收敛,则此级数在 处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 四、(本题满分 6 分)设 (,xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数,求22.uxy五、(本题满分 8 分)设函数 (x满足微分方程 32e,xy其图形在点 (0,1)处的切线与曲线21yx在该点处的切线重合,求函数 ().六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数 ,r为 A质点与 M之间的距离), 质点 沿直线 2yx自 (,)B运动到 ,)O求在此运动过程中质点A对质点 M的引力所作的功.九、 （本题满分
6、9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有 ()0,fx证明:在 (,)ab内存在唯一的 ,使曲线 y与两直线 yfx所围平面图形面积 1S是曲线 (yfx与两直线 (),fx所围平面图形面积 2S的 3 倍.1989 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 (3)2f则 0()(lim2hff= _.(2)设 x是连续函数,且 10),fxftd则 ()fx=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 21,yx则曲线积分 2()Lxyds=_.(4)向量场 divu在点 (,0)P处的散度
7、divu=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面 210,xyz则点的坐标是(A) (1,) (B) (1,) (C) 2 (D) 2 (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B) 12123()cycy(C) 12
8、123()cy(D) 12123() (4)设函数 ),0,fx而 1()sin,Sxbx其中102(sin,2,3nbfd则 )2等于(A) (B) 4 (C) 14 (D) 1 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 (2)()zfxygx其中函数 (ft二阶可导 ,()guv具有连续二阶偏导数,求2.xy(2)设曲线积分 2()cxydy与路径无关,其中 ()x具有连续的导数,且(0),计算(1,)20()xydy的值.(3)计算三重积分 ),xzdv其中 是由曲面 2zxy与 21zxy所围成的区域.四、(本题满分 6 分)将函数 1arctnxfx展为 的幂
9、级数.五、(本题满分 7 分)设 0)si(),xfxtfd其中 f为连续函数,求 ().fx六、 （本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos2exx在区间 (0,)内有且仅有两个不同实根.九、 （本题满分 9 分）设半径为 R的球面 的球心在定球面 22(0)yza上,问当 R为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大?1990 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点 (1,2)M且与直线 4y垂直的平面方程是_.1zt(2)设 a为非零常数,则 lim()xxa=_.(3)设函数 ()f 10
10、,则 (f=_.(4)积分 220eyxd的值等于_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )f是连续函数,且 e()(),xFftd则 ()Fx等于(A) e(xfx (B) e()xff(C) )f (D) x (2)已知函数 ()fx具有任意阶导数,且 2(),fxf则当 n为大于 2 的正整数时,()fx的 n阶导数 ()n是(A) 1!f (B) 1()nfx (C) 2()nx (D) 2! (3)设 a为常数,则级数 21sin()a(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C
11、)发散 (D)收敛性与 a的取值有关 (4)已知 ()fx在 0的某个邻域内连续,且 0()(),lim2,1cosxff则在点 0x处()f(A)不可导 (B)可导,且 ()f(C)取得极大值 (D)取得极小值 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 120ln().xd(2)设 (,sin),zfy其中 (,)fuv具有连续的二阶偏导数,求2.zxy(3)求微分方程 24ex的通解( 一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数 0(21nnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分 8 分)求曲面积分 2SIyzdxy其中 S是球面 224xyz外侧在 0的部分.六
12、、 （本题满分 7 分）设不恒为常数的函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续,在开区间 (,)ab内可导,且().fab证明在 (,)a内至少存在一点 ,使得 ()0.f九、 （本题满分 8 分）质点 P沿着以 AB为直径的半圆周,从点 (1,2)A运动到点 (3,4)B的过程中受变力 F作用(见图).的大小等于点与原点 O之间的距离,其方向垂直于线段 OP且与 y轴正向的夹角小于 .2求变力对质点 所作的功.1991 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cosxty,则 dyx=_.(2)由方程 22zz
13、所确定的函数 (,)zxy在点 (1,0)处的全微分 dz=_.(3)已知两条直线的方程是 1 23:;:.01xyzl l则过 1l且平行于 2l的平面方程是 _.(4)已知当 0x时123,()ax与 cosx是等价无穷小,则常数 a=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线21exy(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数 ()fx满足关系式 20()()ln2,tfxfd则 ()fx等于(A) el
14、n2x (B) ex (C) (D) 2l (3)已知级数 121(),5,nna则级数 1na等于(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设 D是平面 xoy上以 (1,)、 ,和 (1,)为顶点的三角形区域 1,D是 在第一象限的部分,则 (csin)Dxyd等于(A) 12oyx(B) 12Dxyd (C) 14(csi)D (D)0 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20lim(os).x(2)设 n是曲面 26yz在点 (1,)P处的指向外侧的法向量,求函数268yuz在点 P处沿方向 n的方向导数.(3) 2(),xzdv其中 是由曲线20yzx绕 轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围城的立体.四、(本题满分 6 分)过点 0,O和 (,A的曲线族 sin(0)yax中,求一条曲线 ,L使沿该曲线 O从到 A的积分 3(1)(2)Lydxy的值最小 .五、(本题满分 8 分)将函数 (1)fxx展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数21n的和 .六、 （本题满分 7 分）设函
