《2012版数学一轮精品复习学案：选修系列(第3部分：几何证明选讲)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012版数学一轮精品复习学案：选修系列(第3部分：几何证明选讲)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 版数学一轮精品复习学案：选修系列第三部分 几何证明选讲【高考目标导航】一、相似三角形的判定及有关性质1考纲点击（1）了解平行线分线段成比例定理。（2）会证明并应用直角三角形射影定理。2热点提示（1）利用平行线等分线段定理和平行级分线段成比例定理进行相关推理和计算。（2）相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的射影定理的应用。二、直线与圆的位置关系1考纲点击（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。2热点提示（1）应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间的关系。（2）应用圆内接四边形的性质进行推
2、理。（3）利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明。（4）利用圆中的比例线段进行计算和推理。【考纲知识梳理】一、相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。（2）推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。2平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。如图，若 123/ll，则有： ,.ADEADBECBC注：把推
3、论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。3相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数） 。（2）相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。如图，若 EF/BC，则AEFABC。判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似。注：根据判定定理 2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。若两优秀干等腰三角形的一底角相等，则
4、另一底角必然相等，由判定定理 1 即可判定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理 1 即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。（3）直角三角形相似的判定：上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（4）相似三角形的性质相似三角形的性质（一）（）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角
5、平分线的比都等于相似比。（）相似三角形周长的比等于相似比。（）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的性质（二）（）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比。（）相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方。4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则有 CD2=ADBD，AC 2=ADAB，BC 2=BDAB。二、直线与圆的位置关系1圆周角定理（1）圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论（）推论 1：同弧或等弧所对
6、的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。（）推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 0的圆周角所对的弦是直径。（2）圆心有定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。2圆内接四边形的性质与判定定理（1）圆内接四边形的性质定理定理 1：圆内接四边形的对角互补。定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。（2）圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。3圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理及推论（1）定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（2）推论：
7、推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。5与圆有关的比例线段圆中的比例线段定理名称 基本图形 条件 结论 应用相交弦定理 弦 AB、CD 相交于圆内点 P（1）PAPB=PCPD（2）ACPBDP（1）在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一（2）求弦长及角割线定理 PAB、PCD 是O的割线（1） PAPB=PCPD（2）PACPDB（1）求线段PA、PB、PC、PD及 AB、CD（2）应用相似求AC、B切割线定理 PA 切 O于A，PBC 是 的割线（1）PA 2=PBPC（
8、2）PABPCA（1）已知PA、PB、PC 知二可求一（2）求解 AB、AC切线长定理 PA、PB 是 O的切线（1）PA=PB（2）OPA=OPB（1）证线段相等，已知 PA 求 PB（2）求角【要点名师透析】一、相似三角形的判定及有关性质（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用例如图，F 为 ABCD边上一点，连 DF 交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E。求证：DGDE=DFEG思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等线段（平行四边形对边相等） ，经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。解答：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，A
9、BDC，AD=BC，ADBC， DGAEC，又ABDC， ,DFBCAE DGFE，即 DGDE=DFEG。（二）相似三角形判定定理的应用例如图，BD、CE 是ABC 的高，求证：ADEABC。解答： 0AEC9,.BDCEDBA、 是 的 高 ，又 又 （三）相似三角形性质定理的应用例ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=12cm，高 AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，求这个正方形的边长。思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。解答：设正方形 PQMN 为加工成的正方形零件，边 QM
10、在 BC 上，顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，ABC的高 AD 与边 PN 相交于点 E，设正方形的边长为 xcm，PNBC，APNABC。 .APNDBC 812x。解得 x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的边长为 4.8cm。（四）直角三角形射影定理的应用例如图，在 RtABC 中，BAC=90 0，ADBC 于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E，求证：AD3=BCBECF。思路解析：题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键。解答：ADBC，ADB=ADC=90 0，在 RtADB 中，DEAB，由射影定理得
11、BD2=BEAB，同理 CD2=CFAC，BD 2CD2= BEABCFAC 又在 RtABC 中，ADBC，AD 2=BDDC 由得 AD4= BD2CD2 =BEABCFAC= BEABADBCAD 3=BCBECF二、直线与圆的位置关系（一）圆周角定理的应用例如图，已知 O是ABC 的外接圆，CD 是 AB 边上的高，AE 是 O的直径。求证：ACBC=AECD。解答：连接 EC，B=E。AE 是 O的直径，ACE=90 0。CD 是 AB 边上的高，CDB=90 0。在AEC 与CBD 中，E=B，ACE=CDB，AECCBD。 AECBD，即 ACBC=AECD。（二）圆内接四边形及
12、判定定理的应用例如图，已知 AP 是 的切线，P 为切点，AC 是 O的割线，与 交于 B，C 两点，圆心O在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点。（1）证明：A，P， O，M 四点共圆；（2）求OAM+APM 的大小。思路解析：要证 A、P、 、M 四点共圆，可考虑四边形 APOM 的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出OAM+APM 的大小。解答：（1）连接 OP，OM，因为 AP 与 O相切于点 P，所以 OPAP，因为 M 是 O的弦 BC 的中点，所以 OMBC，于是OPA+OMA=180 0。由圆心 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角
13、互补，所以 A，P，O，M 四点共圆。（2）由（1）得 A，P， ，M 四点共圆，所以OAM=OPM，由（1）得 OPAP，由圆心 在PAC的内部，可知OPM+APM=90 0，所以OPM+APM=90 0。（三）圆的切线的性质及判定的应用例已知 AB 是 O的直径，BC 是 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD（如图） 。求证：DC 是 O的切线。解答：连接 OD。OA=OD，1=2，ADOC，1=3，2=4，3=4。又OB=OD，OC=OC，OBCODC，OBC=ODC。BC 是 O的切线，OBC=90 0，ODC=90 0，DC 是 O的切线。（四）与圆有关的比例线段例如图所示，已知
14、 1与 2相交于 A、B 两点，过点 A 作 1的切线交 2O于点 C，过点 B作两圆的割线，分别交 、 于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P。（1）求证：ADEC；（2）若 AD 是 2O的切线，且 PA=6，PC=2，BD=9，求 AD 的长。解答：（1）连接 AB，AC 是 1O的切线，BAC=D。又BAC=E，D=E，ADEC。（2）设 BP=x,PE=y.PA=6，PC=2，由相交弦定理得 PAPC=BPPE，xy=12 ADEC, 96,2DPAxECy 由可得， 31()4xy或 舍 去 ，DE=9+x+y=16.AD 是 2O的切线，DE 是 2的割线，AD 2=DBDE
15、=916，AD=12。【感悟高考真题】1 （2010 上海文数） （几何证明选做题）如图，已知 Rt ABC 的两条直角边 AC， BC 的长分别为3cm，4cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BD 165cm.解析： ABCD,由直角三角形射影定理可得 516BD5,4,2 所 以又B2（2010 天津理数） （14）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P，若P1=,3,则 的值为 【答案】 6【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。因为 A,B,C,D 四点共圆，所以 ,DABPCAPBC,因为 为公共角，所以PBCPAB,所以 P.设 OB=x，PC=y，则有 632xyy，所以63BCxADy【温馨提示】四点共圆时四
