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1、2012 上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）1计算： = （i 为虚数单位）.i3【答案】 1-2i【解析】 = =1-2ii13()i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。2若集合 ， ，则 = .012|xA1|xBBA【答案】 |【解析】由集合 A 可得：x ，由集合 B 可得：-1经1 ，所以， =12 BA1|2x【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。3函数 的最小正周期是
2、.xxfcos12in)(【答案】 【解析】根据韪得： 1()sinc2sin2fxxx【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 .21arctn,21tan【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为 2 的圆柱，底面周长为 ，该圆柱的表面积为 .2【答案】 6【解析】根据该圆柱的底
3、面周长得底面圆的半径为 ，所以该圆柱的表面积为：1r.62422rlS圆 柱 表【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程 的解是 .14230x【答案】 log【解析】根据方程 ，化简得 ，令 ，1x 032)(xx 20xt则原方程可化为 ，解得 或 ，即 .所以原方程的解为032t t舍13log,2.3log2【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.
4、本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 ，则212,.,.nV.12lim(.)nnV【答案】 78【解析】由正方体的棱长组成以 为首项， 为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首12项， 为公比的等比数列，因此， .81 781)(lim1 nnV【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.第 3 页8.在 的二项式展开式中，常数项等于 .61x【答案】 20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 .33461C()20Tx【点评】本题主要考
5、查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知 是奇函数，若 且 ，则 .()yfx()2gxf(1)g(1)【答案】 3【解析】因为函数 为奇函数，所以有 ，即)(xfy )()(xff.,1)(,1,2)1(fgfg所 以 ，又 321)(1, fg【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 为奇函数，所以有xy这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.)()(xff10.满足约束条件 的目标函数 的最小值是 .2yzyx【答案】【解析】根据题意得到 或 或 或0,2;xy0,2;xy0,2;xy0,2.xy
6、其可行域为平行四边形 区域， （包括边界）目标函数可以化成 ， 的最小值就是该直线ABCDzx在 轴上截距的最小值，当该直线过点 时， 有最小值，此时 .y )0,(zmin10 5 5 10642246y =x+zBDAC【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 时，)0,2(A有最小值，此时 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.z2minz11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】 32【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同
7、的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 .32【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形 中，边 、 的长分别为 2、1，若 、 分别是边 、 上的点，且满足ABCDAMNBCD，则 的取值范围是 MN【答案】 4,1【解析】以向量 AB 所在直线为 轴，以向量 AD 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为xy，所以 设 ，根据题意，,2ADB(0,)2,(,1)0.ABCD)20(),1,2(xNbM，所以xb1.NxM所以 ，所以 ， 即 .23M423x4A第 5 页10 5 5 10
8、642246 CADBMN【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数 的图像是折线段 ，其中 、 、 ，函数 （()yfxABC(0,)1(,)2B(,0)C()yxf）的图像与 轴围成的图形的面积为 .01x【答案】 4【解析】根据题意，得到 ，12,0(),xf从而得到 所以围成的面积为 ，12,0,)(2xxxfy 41)2(21210 dxxdS所以围成的图形的面积为 .41【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，
9、本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知 ，各项均为正数的数列 满足 ， ，若 ，则1()fxna12()nnaf2012a的值是 .201a【答案】 653【解析】据题 ，并且 ，得到 ，xf1)( )(2nnaf nna12， ， ，得到 ，解得 （负值舍去）.依次往前推1a23201a20125201得到.2651320a【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 是解决问)(2nnaf题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有 4 题，满分
10、20 分）15.若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ）12ix20xbcA B. C. D.,3bc,1bc2,12,3bc【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点知 也是该方程的另一个根，所以i，即 ， ，故答案选择 D.bii2122ci3)21(【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数 、 ， “ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ）mn021mxnyA充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程 的曲线表示
11、椭圆，常数常数 的取值为 所以，由 得不到12nymx nm,0,n0m程 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 ，因而2必要.所以答案选择 B.第 7 页【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数 的取值情况.属于中档题.nm,17.在 中，若 ，则 的形状是（ ）ABC222siinsiABCABA钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定【答案】 A【解析】由正弦定理，得 代入得到 ，,sin2,si,sin2RcBbARa 22abc由余弦定理的推理得 ，所以 C 为钝角，所以该三角
12、形为钝角三角形.故选择 A.2co0cC【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若 （ ） ，则在 中，正数的个数是（ ）2sini.sin77SN1210,.SA16 B.72 C.86 D.100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题
13、（本大题共有 5 题，满分 74 分）19如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，D 是PC 的中点.已知BAC= ，AB=2，AC=2 ，3PA=2.求：（1）三棱锥 P-ABC 的体积；（6 分）（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6 分）解（1） ， 2 分3221ABCS三棱锥 P-ABC 的体积为. 6 分343131VAB（2）取 PB 的中点 E，连接 DE、AE，则EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线BC 与 AD 所成的角. 8 分PAB CDPAB CDE 在三角形 ADE 中，DE=2，AE= ，AD=2，所以ADE
14、= .43cosADE43arcos因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是 . 12 分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于必修 2立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题20已知函数 .)1lg()xf（1）若 ，求 的取值范围；（6 分）20fx（2）若 是以 2 为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函数)(x 10)(xfg的反函数.（8 分）gy,解（1）由 ，得 .01x1x由 得 . 3 分lg)l()2l(2x102x因为 ，所以 ， .03由 得 . 6 分312x312（2）当 x1,2时，2-x0,1，因此. 10 分)3lg()2()()() xfxggy 由单调性可得 .l,0y因为
