教案三消元——解二元一次方程组

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1、8.2 消元教学目标(一)教学知识点1用加减消元法解二元一次方程组2进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想， “化未知为已知”化归思路(二)能力训练要求1会用加减消元法解二元一次方程组2根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路消元(三)情感与价值观要求1进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐2根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识教学重点1掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤2能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组教学难点1解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想2数学研究的“化未知为已知”

2、的化归思想教学方法启发比较自主探索相结合由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握教具准备投影片教学过程提出疑问，创设问题情景，引入新课师怎样解下面的二元一次方程组呢？生 1解：把变形，得 x= 215y把代入，得3 +5y=21，25解得 y=3把 y=3 代入，得x=2所以方程组的解为 3,2yx生 2解：由得 5y=2x+11把 5y 当做整体将代入，得3x+(2x+11

3、)=21解得 x=2把 x=2 代入，得5y=22+11y=3所以原方程的解为 32yx师我们可以发现第二种解法比第一种解法简单有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元” 那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元” 生我发现了方程和中的 5y 和5 y 互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程和的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有 x 的等式，即一元一次方程，而 5y+(5 y)=0 消去了 y师很好这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法加减消元法讲授新课师下面我们就用刚才这位同学的方法解上

4、面的二元一次方程组解：由+，得(3x+5y)+(2x5 y)=21+(11)，即 3x+2x=10，x=2，把 x=2 代入中，得y=3所以原方程组的解为 3,2yx师生共析一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见师下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程(1) (2);7,1yx这两个方程组中， y 的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组.32,9yx中的两个方程相加，从而把 y 消去，将二元转化为一元，最后解

5、出了方程的解，很好(3)我们观察此方程 y 的系数都是 1，因此这位同学想到了用，得825yxx=3，代入就解出 y=2 这位同学将方程组整理，得由得 8n=16， n=2，把 n=2 代入便得 m=5这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组生老师，我有一个问题：习题 82 的 3 (3)小题，用代入消元法解，较麻烦用加减消元法解， x、 y 的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法是不是还有别的方法师这个同学提的问题太好了能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习接下来，同学们分组讨论，方程组 不用代入消元

6、法如何解？生老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的 x 或 y的系数化成相等(或相反)呢？生可以我只要在方程和方程的两边分别除以 3 和 4， x 的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了生我不同意这样做， y 的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦我觉得应该找到 y 的系数2 的绝对值和 3 的最小公倍数 6，在方程两边同乘以 3，得 9x6 y=12，在方程两边同乘以 2，得 8x+6y=22，然后+，就可以将 y 消去，得 17x= 34， x=2把 x=2 代入得， y=1所以方程组的解为 .1,2x师同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺

7、他其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是 1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反我们遇到的往往就是象习题 82 3(3)题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的下面我们看一个例子解方程组分析：未知数的系数没有绝对值是 1 的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反我们观察可以发现， x 的系数绝对值较小，因此我们找到 2 和 3 的最小公倍数 6，然后3，2，便可将的 x 的系数化为相同解：3 得 6x+9y=362，得 6x+8y=34，得 y=2将 y=2 代入，得 x=3所以原方

8、程组的解是 .2,3y师我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：出示投影片(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？(由学生分组讨论、总结)师生共析(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元” (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小

9、的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑随堂练习用加减消元法解下列方程组：1解：+，得 16x=16x=1把 x=1 代入，得y=5所以原方程的解为 51yx，得 6y=18y=3把 y=3 代入，得x=2所以原方程组的解为 32yx2 得 5t=15t=3把 t=3 代入，得s=1

10、所以原方程组的解为 31ts23，得11 x=33x=3把 x=3 代入得 y=4所以原方程组的解为 3x注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一课时小结关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元” 课后作业1课本习题 8.2 32阅读活动与探究解三元一次方程组：过程：解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元”变为“一元” ，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元”消为“二元” ，不就是我们刚学过的二元一

11、次方程组吗我们观察这个方程组中不含未知数 z，如果能利用和消去 z，不就又得到一个和一样只含 x， y 的二元一次方程，将和联立成二元一次方程组也就将三元一次方程组消元，由“三元”变为“二元” 结果：解：由得 x+2y=8联立、得由+得 y=9把 y=9 代入，得 x=10把 x=10、 y=9 代入得 z=7所以三元一次方程组的解为： 7910zyx板书设计解二元一次方程组(二)一、学生板演1523yx解法一：代入消元法解法二：(加减消元法)解法三：(整体代入法)二、加减消元法的思路和步骤三、例题(用加减消元法求解)四、课时小结备课资料一、参考例题例 1解方程组：分析：这个方程组比较复杂，应

12、先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元法或代入消元法求解解：化简方程组，得2+3，得 19x=38x=2把 x=2 代入，得 y=2所以原方程组的解为 2x评注：当方程组比较复杂时，应通过去分母，去括号，移项，合并同类项等，使之化为 的形式(同类项对齐)，为消元创造条件,2211cybxa例 2解方程组分析：可以仿例 1 将方程化简，也可根据方程组的特点考虑把( x+y)、( x y)看成一个整体，这样会给计算带来方便解法一：原方程化简为：3，得 32y=64， y=2把 y=2 代入，得 x=5所以原方程组的解为 5y解法二：把( x+y)、( x y)看成整体3 得 x+y=3把代入，

13、得 2(x y)53=1即 x y=7由、联立方程组，得37yx解得 25评注：在解法二中突出了方程的特点，体现了数学中的“整体”思想例 3已知方程组 的解适合 x+y=8，求 a 的值ayx3225分析一：把方程组成的解用含 a 的代数式表示出来，再代入 x+y=8，得到关于 a 的一元一次方程，解方程即可求出 a分析二；将方程 2x+3y=a 代入 3x+5y=a+2，即用 2x+3y 代替方程 3x+5y=a+2 中的 a，可得到 3x+5y=2x+3y+2，整理得 x+2y=2，将新得到的方程与 x+y=8 组成方程组 解,82方程组即可求出 x、 y 的值，然后把 x、 y 的值代入

14、 2x+3y=a，便可求出 a 的值解法一：2，得 6x+10y=2a+43，得 6x+9y=3a，得 y=4 a，把 y=4 a 代入，得2x+3(4 a)=a解得 x=2a6所以 代入 x+y=8，得y4(2a+6)+(4 a)=8解得 a=10解法二：把代入，得 3x+5y=2x+3y+2，整理，得 x+2y=2把方程与 x+y=8 组成方程组，得 y=6把 y=6 代入，得 x=14所以 14x把 代入中6ya=214+3(6)=10所以 a=10评注：顺利解决此题的关键是理解二元一次方程组的解和二元一次方程的解的概念；二是灵活运用加减法或代入法解二元一次方程组二、参考练习1填空题(1)已知 3ay+4b3x1 与3 a2x2 b12 y是同类项，则 x=_， y=_(2)若(5 x+2y12) 2+3 x+2y6=0，则 2x+4y=_(3)若 3x3m+5n+9+9y4m2 n+3=5 是二元一次方程，则 =_nm(4)在代数式 mx+n 中，当 x=3 时，它的值是 4，当 x=4 时，它的值是 7，则m=_， n=_答案：(1)22(2)0(3)1(4)352选择题(1)用加减消元法解方程组 时，有以下四种结果，其中正确变形是82