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1、 3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点(2) 较高要求：理解收敛定理的证明(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点(2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑, 则在每一点 2f , 的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右极限的算术平均值, 即x f x,nxbaxnsico 22)0()( 1其中 和 为 的 Fo
2、urier 系数.nabf证明思路: 设 对每个 , 我们)(x10 .sico2nnxba 要证明 . 即证明 )(Sn )(ff.0 2)0(limnn Sxff方法是把该极限表达式化为积分, 利用 RiemannLebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出 的简缩形式.)(xSnnkkxba10 sico.dtntxfn 2si1)()(称这一简缩形式为 的积分形式, 或称为 Dirichlet 积分, )(Sn2 利用该表示式, 式 可化为 )0()xff (xSn 2)0()(xff (xSn)()(ff dtntf2si1)(12)0(xf02sin)(1dttxf+ ,
3、2)(xf02sin1)(1dttxf于是把问题归结为证明,nlim2)0(xf02sin1)(1dttxf0.nli2)(xf02sin1)(1dttxf 0这两式的证明是相同的, 只证第一式.1 为证上述第一式, 先利用三角公式2sin1cos2cos2 建立所谓 Dirichlet 积分 , 利用该式把 表示为积分,即把 012sin1dt )0(xf表示为 Dirichlet 积分2)0(xf .2)0(xf02sin1)(1dtxf于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为nlim2)0(xf02sin1)(dttxf.nli0 2sin1)()(1dttxff2 利用所谓 Riema
4、nn Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立 Riemann Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为.nlim0 2sin1)()(1dttxff3 把上式化为应用 Riemann Lebesgue 定理的形式, 即令, 0( ,2sin)0()()( tttxfft则 nlim0 2sin1)()(1dttxff.021sin)(li tdtn为使最后这一极限等于零, 由 Riemann Lebesgue 定理, 只要函数 在区间)(t上可积. 因此希望 存在. 由函数 在区间 上按段光滑, 可以验证0 )(f 存在.)(预备定理
5、及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论.预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间 上可积, 则有 Bessel 不等式f ,12220 )(1 ) ( nndxfba其中 和 为函数 的 Fourier 系数.nabf推论 1 ( Riemann Lebesgue 定理 ) 若函数 在区间 上可积, 则有f ,0cos)(limnxdfn.i推论 2 若函数 在区间 上可积, 则有f ,00)21sin()lixdxn.ilimfn预备定理 2 若 是以 为周期的周期函数, 且在区间 上可积, 则函数)(x 的 Fourier 级数部分和 有积分表示式
6、)(xf )(Sn.dtntxfxn 2si1)(1)(当 时, 被积函数中的不定式由极限0t21sin2)(lim0tt来确定.Dirichlet 积分: .012sin1dt证 由三角公式2sin1coscos21 02sin1dtdtn2si1.ncoco1 t1三维空间中 则 kajir321(1) i r2),(将此结论推广到 维空间, 即为若 , n )1,0(,21 ineaea则 22),(rai 对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数 10 )sinco(2)(nxbaxf自然应有 dffban (),)220这就是有名的 Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的
7、证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称 等式 ) 设可积函数 的 Fourie 级)(xf数在区间 上一致收敛于 , 则成立 Parseval 等式, )(xf.df121220 ) ( nnba证法一 注意到此时函数 在区间 可积 , 由 Bessel 不等式, 有)(x .df121220 ) ( nnba现证对 , 有 .0 )(2xf 1220 nn事实上, 令 由 一致收敛于 ,)(xSnnkkxba10 ,)sico)(Sn)(xf对 对 , 有 , 因此 ,N , 0 2|)(| fn. nkkn badxfdxSxfd 122022
8、)( )()( 2即当 时有Nn. )(12xfnkkba1220)(令 , . 由 的任意性, 有n 2df 1220 nn0. )(12xf1220 ) (nba综上即得所证 .证法二 由 一致收敛于 , .)(Sn)(f0|)(|suplim, xSfnn而 .kkn badxfdxxf 122022 )()(1)(1因此, f)(02 nkkba1220)(2|)(|supxSfn. ,|)|sup 2xSfn由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有 )( ,1)(12xfdxf= lim ,liSnndxxSnnnn )(1li )(
9、, li12.nlimkkba1220 120 nnbaParseval 等式的意义：设在幺正系 ,sin ,co ,si ,co , xx*)下函数 的 Fourier 系数为 和 ，可见)(xf nAB dxfxfA)(21) ,(0； )(1200 adfnn axdfnxf cos)(1cos ,(；2 aA同理有 ; 其中 和 为函数 的通常 Fourier 系数.于是 , nbBnab)(fParseval 等式即成为. 1 12202202 ) ( )(n nnnBAdxf注意到 , 就有2 ) ,( xfff,1220)nnBAxf这是勾股定理的推广, 可称 Parseval
10、等式是无穷维空间中的勾股定理. Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别： Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的 Fourier 级数. 一个三角级数是 Fourier 级数( 即是某个可积函数的 Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 为 Fourier 级数, 则数项级数 收敛.nxbansico 210 1nb( 参阅复旦大学编数学分析下册 P116117 ). 比如正弦级数 是收敛的三角级2lsinx数(利用 Dirichlet 判别法), 由级数 发散, 正弦级数 不是 Fourier 级数.2ln12lin
11、例 证明: 当 时, 三角级数 在 R 内收敛, 但其和函数 在区01sinx )(xf间 上不是( R )可积的 ., 证 由 Dirichlet 判别法, 可得该级数在 内收敛. 反设和函数 在区) , ()(xf间在 上( R )可积, 则该三角级数是函数 的 Fourier 级数 . 由于 也在, xf 2上( R )可积 , 则有 Bessel 不等式 .dxfn )(1 212即有上式左端的正项级数收敛 . 但由 , 矛盾. 可见, 函数12 ,0n在区间在 上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是 Fourier 级数.)(xf, 一个三角级数是否为 Fourie
12、r 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是 Fourier级数, 或许在另一种积分意义下是 Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为 Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓 SCP积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是 Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数 在闭区间 上连续, 则对任意给定)(xfba的 ,存在多项式 对一切 , 成立0)(xPnba|f
13、傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790 年成为巴黎工科大学教授。1798 年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究 1827 年当选为法国科学院院士。他从 1800 年开始研究热传导 1811 年因解答科学院提出的问题而获奖，1822 年出版了他的名著热的分析理论，把数学成功地应用于物理，引入了热传导方程，并得到在各种边界条件下的解答；他开创了分析的一个重要分支-傅里叶级数，这在数学、物理、工程技术上有广泛应用，对现代数学产生了重大影响。pn(x)f(x)
