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1、探索空间平面法向量的求法与方向的判定。 。”“”。“。”“ 。杨玉春(铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300)向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判定。一、平面法向量的求法1
2、、几何法：如图(1)，若 ，在 上任取两点A、B，则 AB 或 BA 即为平面 的一个法向量。2、待定系数法(两种设法)： （1）设 n=(1,)或 n=(，1，)或 n=(, ，1)是平面 的一个法向量。a，b 是平面 内任一两个不共线向量，由 na=0nb=0 求出 ， 即可。（2）或设 n=（x，y，z）是平面 的法向量，由 na=0nb=0得出关于 x、y、z 的三元一次方程组的一个解即为平面 的一个法向量。3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A、B、C不同时为零)，则 n=（A，B，C）为平面的一个法向量。4 利用向量的向量积：如图(1)，设 a=( ),b=（1,
3、xyz）23,xyz则 ab= =( ,| |,|)=( )12121221,yzxzxy取 n=(ab)(R 且 0)是平面 的法向量。二、空间平面法向量方向的判定1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定 ab 的方向，取 n=(ab),当0 时，则 n 方向与向量 ab 方向相同；当 0 时，n 方向与向量 ab 方向相反。3、用待定系数法或空间平面方程求出的法向量可用如下方法判定：二面角法量方向的判定应该选定一个向量作为参照向量 n。(这个参照向量不能和平面垂直或平行且指向二面角内部)。如图(2)，设平面 的法向量分别为 ，在二面1
4、2,n角 内的一个参照向量为 ,当 0 时，显0然 与 的夹角为锐角，我们称法向量 的方向指向二面1n0 1角的内部；当 0 时，显然 与 的夹角为钝角，我2n2n0们称法向量 的方向指向二面角外部。再依据当二面角的两个半平面的法向量同时指向二面内部或同时指向二面角外部时，二面角与其法向量所成角为互补关系；当法向量的方向一个指向二面角内部一个指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为相等关系；概括为：“同内同外互补，一内一外相等” 。三、举例示范空间平面法向量求法与方向的判定例：如图，ABCD 是直角梯形，ABC=BAD=90,SA平面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 。21：求 S
5、C 与平面 ABCD 所成的角。：求点 A 到平面 SCD 的距离。：求平面 SAB 与平面 SCD 所成角的大小。：求二面角 ASCD 的大小。解析：如图，以 A 为原点，以向量 AB、AD、AS 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D（0， ，0） ，21S(0，0，1)：由题意:SA平面 ABCD，平面 ABCD 的一个法向量为 n=AS=(0，0，1),又 CS=(-1,-1,1)。SC 与平面 ABCD 所成的角为：(1)设平面 SCD 的一个法向量为 n=(1,)即 n=（1，-2，-1）（2）或
6、设平面 SCD 的法向量为 n=（x,y,z）不妨令 y=-2，则平面 SCD 的一个法向量为=(1,-2,-1)n(3)或设平面 SCD 的方程为 Ax+By+Cz+D=0(其中A、B、C 不同时为零)，则 =(A、B、 C)是平面 SCD 的一n个法向量。把 S(0,0,1),C(1,1,0),D(0, ,0)分别代入平面方程，21得不妨令 B=-2,则 A=1，C=-1，从而 =(1,-2,-1)为平面nSCD 的一个法向量。(4)或由 SC=（1，1，-1） ，SD=(0, ,-1)，则 SCSD=21平面 SCD 的一个法向量可取 =-2（ - ,1, ）n2121=（1,-2,-1
7、）以上四种方法都可以轻松求出平面 SCD 的一个法向量=（1,-2,-1）n点 A 到平面 SCD 的距离为:平面 SAB 与平面 SCD 所成的角就是法向量 AD =（0， ，0）与法向量 n=（1,-2,-1）所成角或其补角。平面 SAB 与平面 SCD 所成角为 arccos 或-arccos3636:由()知平面 SCD 的一个法向量为 =(1,-2,-1)在n二面角 A-SC-D 内选择一个参照向量 =DA=(0, ,0),由021DA =-10， n 方向是指向二面角外部。n同进可求得平面 SAC 的一个法向量 m=（1,-1,1） ，又AD=(0, ,0)，ADm=0。21m 的方向指向二面角内部，由“一内一外相等”知二面角 A-SC-D 的大小为n, m，又 COSn, m=，二面角 A-SC-D 的大小为 arccos 。23值得一提的是当求两平面所成角大小时，并不须要判断法向量方向，因此当时二面角有两个其大小互补；求二面角大小时，应判断法向量方向，因为二面角的大小唯一的。
