年级第讲一元一次方程的应用

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1、第七讲 一元一次方程的应用（1）知识方法扫描应用题是数学竞赛题中的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力,增强应用数学意识,培养学生分析解决问题的能力、逻辑思维能力和创造能力的好素材。解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映实世界的实际问题转化为数学问题目来解决，不要局限于几种题型。1、直接设未知数。 应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和末知，紧抓题目中的等量关系，直接设末知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题。http:/ http:/2、设间接未知数。 有些应用题，直接设末知数不易求解，则可以采取间接设末知数的方法。即所设的

2、不是所求的，但与所求的末知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的末知量，这样可以使解题更加方便。3、设辅助未知数。 应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题目。辅助末知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“ 设而不求” 。4、图形、表格分析法。有些复杂的应用题，已知量、末知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、末知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题。5、整体思想。若把几个未知量看作

3、一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简和目的。经典例题解析例 1. （1999 年重庆市初二数学竞赛决赛）一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程工作量是乙工程工作量的两倍。前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作。一个月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量。如果每个工人的工作效率都相同，问这个工程队有多少工人？解. 设这个工程队有 x 个人，每个人每月的工作量为 1，则甲工地工作量为，而乙工地工作量为 。12x12依题意，得 ， 解得 x=8。()24x答：这个工程队有 8 个工人。

4、例 2 （1990 年上海初中数学竞赛试题）某人走进一家商店，进门付 1 角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店又付 1 角钱，之后，他走进第二家商店付 1 角钱，在店里花掉当时手中钱的一半，走出商店付 1 角钱，他又走进第三家商店付 1 角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付 1 角钱，最后，他走进第四家商店付 1 角钱，在店里花掉当时他手中钱韵一半，出店付 1 角钱，这时他一分钱也没有了，该人原有钱的数目是 角解.设该人原有钱 x 角，他在进第二家商店前花掉了 角，剩下2x3角；他在进第三家商店前花掉了23x角，剩下 角；进第四家商店前剩下49)11(x49x角，因在第四

5、家商店后一分钱也不剩了，故82x ,821281xx解得 （角） 45评注：本题可以逆推出结果，因在第四家商店购物花掉当时的一半钱后，只剩一角钱，故在进第四家商店前只剩 1+21=3 角钱，依此逆推得结果，例 3. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛试题）一罐咖啡甲乙两人一起喝 10 天喝完，甲单独喝则需 12 天喝完；一斤茶叶两人一起喝 12 天喝完，乙单独喝则需 20 天喝完。假设甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶。问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 设乙单独喝咖啡要 x 天喝完，甲单独喝茶要 y 天喝完,则有， 。解得 x=

6、60,y=30.120x12y故 30 天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要 5 天喝完，故共需 35 天。例 4. （第 13 届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题）中学生运动会五羊赛区男女运动员比例为 19：12。组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为 20：13；后来又决定增加男子象棋项目，于是这个比例再变为 30：19。已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多 30人，那么最后运动员总人数为（ ）（A）7000 （B）6860 （C） 6615 （D ）6370解 男女运动员比例从 19：12=380 ：240 变为 20：13=380 ：247；

7、再变为30：19=390： 247，于是可设男运动员原有 380x 人，女运动员原有 240x 人；那么最后男女运动员人数变为 390x 人和 247x 人,依题意得（390x-380x）- ( 247x-240x) = 30解得 x=10,所以最后运动员总人数为（390+247）10=6370故选 D。例 5 （第 7 届“希望杯”数学邀请赛试题）在某种浓度的盐水中加入“一杯水” 后，得到新盐水，它的浓度为 20%，又在新盐水中加入与前述“ 一杯水 ”的重量相等的纯盐后，盐水浓度变为 %那么31原来盐水浓度为( )(A)23% (B)25% (C)30% (D)32%解设原盐水重量为 a，浓

8、度为 x，则原盐水含盐量为 ax，并设“一杯水”的重量为 b，原盐水加入“ 一杯水 ”后，浓度为 依题意得： 即,ba,102bax51ax第二次是在新盐水中加盐，所加盐的重量为 b，这时，浓度为 %,3x32bx由得， ,5ba由得 bax43, 代人式， 1,4xb例 6 （“华罗庚杯”初一数学竞赛试题）10 入围成一圈，每个人心里想个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示，问亮 5的人心中想的数是多少？ 分析 本题中的等量关系为：亮 5 的人心中想的数十亮 13 的人心中想的数=142解：设亮 5 的人心中想的数是 x，那么 亮

9、 7 的人心中想的数+6）= 6 （21则亮 7 的人心中想的数=62-x，即为 12-x以此类推，亮 9 的人心中想的数是 82-(12-x)，即为 4+x；亮 11 的人心中想的数是 102-(4+x)，即为 16 -x;亮 13 的人心中想的数是 122-（16-x ） ，即为 8+x，依等量关系列方程为： .142)8(x解得 x=l0.答：亮 5 的人心中想着的数是 10.例 7 (1997 年第八届“希望杯”数学邀请赛试题)有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用 24 部 A 型抽水机 6 天可抽干池水,若用 21 部 A 型抽水机 8 天可抽干池水,设每部抽水机单位时间的

10、抽水量相同,要使这一池水永抽不干,至多只能用几部抽水机抽水?解. 设满池水为 v 升,每天泉水产生 a 升,用 n 部 A 型抽水机,则 ,解0 8216400av得 a= ,每天每部抽水机的抽水量为 升,因而 即至多只能60 720v,720nv用 12 部抽水机抽水。例 8（2004 年江苏省第十九届初中数学竞赛试题）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需 10 小时装卸完毕。现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔 （整数）t小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的 .14问：（1）按改变后的

11、装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？解（1）设装卸工作需 小时完成，则第一人干了 小时，最后一个人干了 小xx4x时，两人共干活 小时，平均每人干活 小时，由题意知，第二人()41()24与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时。 据题设，得 ，解得 （小时）.1()24x1()024x6x（2）共有 人参加装卸工作，由于每隔 小时增加一人，因此最后一人比第一yt人少干 小时，按题意，得 ，即 . 解此不定()t16()4y()12yt方程得 ， ， ， ， ， 即参加的人数12t36t4yt53t72t3t或 3 或 4 或 5 或 7 或 1

12、3.y原版赛题传真The admission price per child st an amusement park is of the admission price per 59adult. If the admission price for 6 adults and 3 children is 276, then the admission price per adult is ( )(A) 24 (B) 32 (C) 36 (D) 40 (admission price 入场费，门票; amusement park 游乐园 )同步训练一 选择题1 （2004 太原市初中数学竞赛试题

13、）有一种足球是由 32 块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是().（A）22（B）20（C）18（D ）161B设白皮有 x 块，则黑皮有 32-x 块，因黑皮为正五边形，故黑皮共有边数为5(32-x)条，又因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，所以黑皮共有边数还可表为 3x 条，由此得方程：5(32-x)=3x，解之得白皮有 x=20(块).2 （2003 年第 8 届全国中小学生数学公开赛试题）李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，

14、李飒索性又喝了第二天所剩的饮料的一半零半瓶. 这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有（ ）（A）5 瓶 （B）6 瓶 （C）7 瓶 （D ）8 瓶2C 3 （2005 年全国初中数学联赛山东赛区预赛曁 2004 年山东省初中数学竞赛试题）某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润率为 20%(利润率= )若进 价 进 价售 价 -这种商品的进价提高 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润为( )(A) 25% (B) 20% (C) 16% (D) 12.5%3. C设提价后的利润为 x%, 则 ，x=16mxm%)251(0)1%(25(0

15、4 （2000 年全国初中数学竞赛试题）甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁，乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（ ）(A) 甲比乙大 5 岁 (B) 甲比乙大 10 岁 (C) 乙比甲大 10 岁 (D) 乙比甲大 5 岁4. B 设甲与乙的年龄差为 k 岁,甲年龄 x 岁, 乙年龄 y 岁,则 x-y=k, y-10=k, 25-x=k,则k=55 （1993 年四川省初中数学联合竞赛决赛）某商店若将彩电先按原价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠” ，结果每台彩电比原价多赚了 270 元，那么每台彩电原价应是（ ）元。A2150 B2200 C2250 D23005 C设每台彩电原价为 x 元，依题意，有x(1+40%)80%-x=270，解得 x=2250。二 填空题6 （2000 年全国初中数学联赛）某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4%，使得利润率增加8 个百分点。那么经销这种商品原来的利润率是 ( 10%)销 售 价 进 价利 润 率 。 进 价6 17%设原进价为 x，原