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1、平面二次包络环面蜗杆副的失配修形 *王红梅董学朱【摘要】提出平面二次包络环面蜗杆副失配啮合分析的两种新方法：齿面相切法和齿面零间隙法。失配平面二次包络环面蜗杆副啮合分析表明：型传动对误差不十分敏感，但同时接触齿数少；标准型和型传动对误差十分敏感。本文提出失配修形法，用标准蜗杆与由型滚刀加工的蜗轮失配啮合，使蜗杆副初装时对误差不敏感，跑合后得到良好的接触质量。叙词： 蜗杆传动误差失配啮合齿面修形引言70 年代初国内外开发的平面二次包络环面蜗杆副(简称平面二包蜗杆副)，具有承载能力大、效率高等优点，在我国已推广使用。对于无误差的平面二包蜗杆副已有较深入研究 1,2 。文献3利用日本学者提出的数学模
2、型，对锥面二次包络环面蜗杆副失配齿面进行了误差分析。文献4提出以平面和锥面作为产形面分别展成蜗杆和滚刀，对减少二次包络蜗杆副对误差的敏感，效果良好。按日本学者的方法，对于蜗杆每一转角，须依次计算垂直于蜗轮轴线各截面内蜗杆与蜗轮两齿廓的间隙，并通过调整蜗轮转角，使得只有一个截面的两齿廓于一点接触(间隙为零)。这种方法计算量很大，需要研究出一种简便的新方法。此外，以平面和锥面作为产形面，需要两种砂轮、两套磨头，很不经济，有待探索一种新的失配修形方法。1平面二包蜗杆副齿面失配啮合分析新方法图 1蜗杆和蜗轮的位置及坐标系1.1齿面相切法蜗杆副无论是否失配，啮合时两齿面均须相切于接触点。此点应是由产形轮
3、 4(砂轮座)展成蜗杆 1 的切齿啮合面“41”与产形轮 3(滚刀)展成蜗轮 2 的切齿啮合面“32”的交点，在此点两齿面有公法线。取静坐标系 0i(i=1,2)如图 1 所示， 01和 02分别与蜗杆和蜗轮轴线重合， 01= 02与两轴线公垂线重合。由齿面接触点为两切齿啮合面交点得到式中R 01，90 12、R 01， 和 R 02， 为回转矩阵(见文献5)；（ ） 01= 1( ， 4， 04）为在 01坐标系切齿啮合面“41”上任一点的向径(见文献7，以下同)， 4、 4为产形平面 的参数， 04为产形轮 4 的转角；( ）02= （ ， ， 03， 13）为在 02坐标系切齿啮合面“3
4、2”上任一点的向径， 、 为一次包络展成滚刀时产形面参数， 03为一次包络展成滚刀 3 时产形轮的转角， 13为二次包络展成蜗轮 2 时滚刀 3 的转角；a 为蜗杆副理论中心距；a 12和 12分别为蜗杆副的中心距误差和轴交角误差；b 12和 c 12分别为蜗轮和蜗杆沿其轴向的位移，它们可以是补偿调整，也可为安装距误差。初装蜗杆副时，为使蜗杆齿面 和蜗轮齿面 相切，不脱开也不“相交”，须使切齿啮合面“41”和“32”分别绕 01和 02转过 和 角。由展成蜗杆 1 时的一次包络切齿啮合共轭条件方程解得 = 4( ， 04）（2）合解展成滚刀 3 时的一次包络切齿啮合共轭条件方程和展成蜗轮 2时
5、的二次包络切齿啮合共轭条件方程得到 = ( 03， 13)(3) = ( 03， 13)(4)根据两齿面在接触点有公法线条件( * = * ），可导出求 和 的计算公式 i= *i i(i=1,2)(5)式中切齿啮合时，在 0i(i=1,2)坐标系已求得齿面 i单位法向量( i)0i=n ix,niy,niz。由式(1)得到 3 个纯量方程，有 、 04、 03和 13四个未知数。给定其中一个(例如 04)，给出 、 03和 13的初值，由式(2)式（5）求得 、 、 、 和 ，由式(1)迭代求解 、 03和 13的终值，得到一个接触点。给出一组 04值，在齿面上得到一条接触迹线。两齿面相对运
6、动时不脱开的条件为：在接触点处两齿面相对速度垂直于公法线( 12* *1=0),由此得瞬时传动比的计算公式（6）齿面相切法只能用于求解两齿面相切的接触点，不能求解边缘接触点。其优点是能快速求解；缺点是不知道接触点周围两齿面的间隙，不能判断齿面其他位置是否有干涉。1.2齿面零间隙法蜗杆与蜗轮齿面接触点处的间隙为零，不接触各点的间隙大于零。求齿面各点间隙的具体方法是：在蜗轮齿面上先按无误差(a 12= 12=b 12=c 12=0)算出一个接触点 M ，有误差(a 120， 120）时两齿面 和 脱开(见图 1)或相交。为便于求间隙，在点 M 处 的切平面上取活动标架 M2(M ： *1， *2，
7、*2)， *1、 *2为过 M2点 2的切平面上的两个互相垂直的单位向量(见图 1)。沿 *1和 *2将坐标轴作 x 等分和 y 等分，由 x 直线和 y 直线在切平面上形成网格，过网格上任一结点 Q(x ，y )作平行于 *2的直线，分别与 和 2交于点 Q 和 Q 。Q Q2即为与 Q 点对应处两齿面沿 *2方向的间隙，依次计算两齿面上与网格各结点对应点的间隙，适当调整蜗杆和蜗轮的转角(调整量分别为 和 )，必要时以蜗轮和蜗杆的轴向位移 b 12和 c 12作补偿，直到两齿面不脱开、不“相交”,只有间隙为零的接触点为止。为便于计算，假定蜗轮齿面 不动，对蜗轮的调整可转换为对机架和蜗杆加了绕
8、 k 02的转角- 和沿 02的位移 -b 12。齿面 上点 Q 在 M2坐标系的向径（7）式中M 02M2 02 M2的坐标变换矩阵 6i 23M、i 23Q蜗轮齿面上点 M 和 Q 切齿啮合时的传动比 13M、 13Q点 M 和点 Q 切齿啮合时滚刀的转角 2无误差时 和 在点 M 接触时切齿啮合面“32”的转角点 Q 与 Q 对应的条件为给定 Q(x ，y ）之后，给出 03和 13的初值，由式(3)和式(4)求得 和 ，由式(7)求得 x2Q、y 2Q和 z2Q的值，由式(8)和(9)迭代求解 03和 13的终值。齿面 上点 Q 在 M2坐标系的向径式中i 14M、i 14Q展成蜗杆齿
9、面 上点 M 和 Q (见图 1)时的切齿啮合传动比 04M、 04Q展成蜗杆齿面上点 M 和 Q 时产形轮 4 的转角 和 在点 M 接触时，切齿啮合面“41”的转角 、 2使失配齿面相接触蜗杆和蜗轮的调整角点 Q 与 Q 对应的条件为给定 Q(x ，y ）之后，给出 04和 的初值，由式(2)求得 ，由式(10)求得 x1Q、y 1Q和 z1Q值，由式(11)和(12)迭代求解 04和 的终值。与点 Q(x ，y ）对应的点 Q 和 Q 处两齿面沿 *2方向的间隙为z=z 1Qz 2Q （13）z0 时，间隙为正，两齿面在该处脱开；z0 时，间隙为负，两齿面在该处干涉；z=0 时，两齿面在
10、该处接触，可以相切，也可为边缘接触。齿面零间隙法的优点是：既可以求两齿面的相切点，也可以求边缘接触点，还可以求脱开或相交两齿面各对应点的间隙。缺点是计算量较大。为考核这两种新方法的数学模型的正确性，先用文献2中线接触齿面啮合分析法求出若干瞬时接触线上的一些点，然后在无误差的情况下，分别用齿面相切法和零间隙法求这些接触点。对一些算例用 3 种不同方法计算，结果完全吻合，说明文中的数学模型和所编程序无误。2平面二次包络环面蜗杆副失配啮合分析对平面二次包络环面蜗杆副有装配误差的标准型传动和型传动2 进行了失配啮合分析，出现两种情况：一种是用齿面相切法无解；另一种虽有解，但以齿面零间隙法检验，在某些“
11、接触点”的周围出现负间隙区域，两齿面有干涉，得到的不是真正接触点，用零间隙法可算出边缘接触点。大量算例说明：标准型和型平面二包蜗杆副，由于多齿双线接触对误差十分敏感，很小的误差都会导致边缘接触，即使进行蜗轮、蜗杆轴向移动补偿也无济于事。型平面二包蜗杆副 2 ，由于蜗杆有效工作长度短，同时接触齿数少，无论单头或多头蜗杆副，均对 a 12不太敏感，但对 12比较敏感。误差不大时用齿面相切法可算出齿面上的接触迹线；用零间隙法检验，各接触点处均无干涉(除接触点间隙 z=0 外，其余各点 z0)。图 2中心距误差 a 12=0.1 mm 的型蜗杆副(a) 接触迹线、接触区(b) 传动比误差曲线(c) 蜗
12、轮转角误差曲线在图 2 算例中，型平面二包蜗杆副，参数为 z1=1，z 2=40，a=240 mm，d 1=80 mm，基圆直径 rb=160 mm，砂轮轴倾角 =10，蜗杆和滚刀的修形参数中心距变动量 a 1=a 3=-1.0 mm。图 2a 为 a 12=0.1 mm 时蜗杆和蜗轮齿面接触迹线和接触区，齿面瞬时接触椭圆的长半轴及其位置按文献5的方法求得；图 2b 为传动比误差曲线；图 2c 为蜗轮转角误差曲线。型蜗杆副虽对误差不敏感，但由于跑合后其有效长度仍然很短2 ，失去了多齿接触的特点。标准型和型蜗杆副对误差十分敏感，为避免边缘接触导致跑合时偏磨或齿面失效，必须通过失配修形为两齿面找到
13、良好的初始接触区。3平面二次包络环面蜗杆副失配修形文献中见到的平面二包蜗杆副的各种修形，其蜗杆和滚刀的修形参数相同。本文提出的方法是：蜗杆和滚刀采用不同的修形参数，使蜗杆副失配，称之为失配修形，目的在于减少蜗杆副初装时对误差的敏感。平面二包蜗杆副需要经过跑合，在轻载情况下以蜗杆的硬齿面“展成”蜗轮的软齿面，采用标准蜗杆比较适宜。不宜用型蜗杆，因为同时接触齿数少。由型蜗杆跑合时，需由啮出端边齿棱边在齿面中间刮出后过渡曲面 2 ，处理不当会划伤蜗轮齿面有效区。采用型滚刀加工出的蜗轮齿面有两个接触区，左边接触区 2B与右边接触区 2C之间有后过渡曲面 C22 ，初装时对误差不太敏感。图 3 为平面二
14、包蜗杆副失配修形啮合分析算例，参数为：a=240 mm，d 1=80 mm，z =1，z =40，=10。标准蜗杆与由型滚刀加工成的蜗轮啮合，滚刀修形参数为 a 3=0.2 mm，蜗轮轴向安装误差 b 12=-0.09 mm，蜗杆轴向补偿调整 c 12=0.025 mm。初装时在左边 2B区接触(见图 3a)，跑合后 2C也参加啮合，呈多齿双线接触，但中间后过渡曲面不接触，齿面上无易点蚀的二次接触区 2 。图 3标准蜗杆与型滚刀加工的蜗轮失配啮合（b 12=-0.09 mm；c 12=0.025 mm）(a) 接触迹线、接触区(b) 传动比误差曲线(c) 蜗轮转角误差曲线采用型滚刀加工出的蜗轮齿面只有偏左边的接触区 2B2 ，与标准蜗杆初装时对误差也不敏感(算例从略)，但跑合后只有 2B啮合，单线接触，齿面上也无易点蚀的二次接触区。4结论(1) 提出平面二次包络环面蜗杆传动失配啮合分析的两种新方法：齿面相切法用于计算齿面相切的接触点；齿面零间隙法用于计算边缘接触点和检验齿面是否有干涉，必要时可以为齿面相切法计算初值。(2) 型传动对误差不很敏感，但同时接触齿数少；标准型和型传动对误差十分敏感，一有误差就出现边缘接触，须进行失配修形。(3) 提出失配修形新方法。采用标准蜗杆与由型滚刀展成的蜗轮失配啮合，初
