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1、2.4 常用离散分布（一）第 1 页 共 6 页 2.4 常用离散分布（一）(One Dimension Special Discrete Distribution)每个随机变量都有一个分布,不同的随机变量可以有不同的分布,也可以有相同的分布.随机变量有千千万万个,但常用的并不多,本节介绍的是离散随机变量中的二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布,主要介绍二项分布和泊松分布.2.4.1 二项分布(the Binomial Distribution)定义 2.4.1 如果随机变量 的分布列为X()(1),01,.knknPCpn则称这个分布为二项分布,记为 .,b一、二项分布的几个
2、特点：1. 服从二项分布的随机变量 需满足的条件：X.BernouliXn A“在 次 独 立 重 复 的 试 验 中 ， 某 事 件 发 生 的 次 数 ”2. , .()pPA1()qpPA说明： n 次独立重复的 Benoulli 试验共有 个可能的试验结果,事件 包含2n Xk其中的 个,并且这每一个事件均表示“ n 次独立重复的 Benoulli 试验中有 次事件kC发生,其余的 次事件 没有发生”,其中 ,那么所包含的这每一个事件发()PAp生的概率为 ,故(1)knkp(1),01,.nkPXp二项概率 恰好是二项式 的展开式中的第 项，这正是knkn()n1k其名称的由来.例
3、2.4.1 某特效药的临床有效率为 0.95,今有 10 人服用,问至少有 8 人治愈的概率是多少？解：设 ,则 .所以10X“人 中 被 治 愈 的 人 数 ”(10,95)Xb:108()()iPi108.iiiiC.746.35.909例 2.4.2 设 ,若 ,试求 .(2,)()XbpY:(1)PX(1)PY解： 2(15 3Pp39)(0)1()7二、二点分布(Two-point distribution)2.4 常用离散分布（一）第 2 页 共 6 页 时的二项分布 称为二点分布,或 0-1 分布,其分布列为1n(1)bp1()0.iiPXP或者记为二点分布 主要用来描述一次 B
4、ernoulli 试验中某事件出现的次数（0 或 1）.(1,)bp很多随机现象的样本空间 常可以一分为二,记为事件 与 ,由此形成 BernoulliA试验. 次独立重复的 Benoulli 试验是由 个相同的、独立进行的 Bernoulli 试验组成.nn若令 Bernouli ,12,.iXAin “第 个 试 验 中 ,事 件 出 现 的 次 数 ”erli在 次 独 立 重 复 的 试 验 中 ， 某 事 件 发 生 的 次 数 ”则 , (1)ibp:121ni niXX这就是二项分布 与二点分布 之间的关系,即二项分布随机变量 是 个独,()bpXn立同分布的二点分布随机变量 的
5、和.,i三、二项分布的数学期望与方差例 2.4.3 若 ,则 .()Xbnp(),()(1)EXnVarnpq解 因为 ,所以 ,0,kkPCn则 0()()nkEk0()nn0!(1)()knkkp1!(1)()nknkkp1!()knk(1)1!()!()n knkk p1(1)1nknkpCp1(1) nknki1()npp0 1p2.4 常用离散分布（一）第 3 页 共 6 页 220()()nkEXPk20(1)nknkCp0 0! !(1)()(1)()()n nkkknkk pn 2!()(1)()nknkk pp2!()nknkk 2(2)21()!1()!2n knkkppp
6、 (2)2nknkC2(2)0 (1)1niniiikpp22nn2()()VarXEX222()pnpp1nq特别地,若 ,则 .1b,(Var2.4.2 泊松分布（Poisson distribution）泊松分布是 1837 年法国数学家泊松(Poisoon S.D. 1781-1840)首次提出的,泊松分布的分布列为 (),01,2.!kPXe其中参数 ,记作0容易验证泊松分布满足分布列的两条性质：(1) 非负性： ；()0,(,1,2.)!kPXek(2) 正则性： .00()!kk e2.4 常用离散分布（一）第 4 页 共 6 页 泊松分布是一种常用的离散分布，它常与单位时间（或
7、单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系，例如1.在单位时间内，电话总机接到用户呼唤的次数；2在单位时间内，一电路受到外界电磁波的冲击数；3.1 平方米内，玻璃上的气泡数；它们都服从泊松分布，可见泊松分布的应用面是十分广泛的。二、泊松分布的数学期望和方差例 2.4.4 若 ,则 .()XP()()EXVar解 因为 ，所以 ,01,2.!ke则 01()!kkEe1()!ke0 !kii220()!kkEXe00(1)!kkkee2(1)!k2()!kk0 !iiie2222()()VarXEX例 2.4.5 某商店出售某种商品，有历史销售记录分析表明，月销售量（件）服从参数为 8 的泊松分布
8、。问在月初进货时，需要多少库存量才能有 90%的把握可以满足顾客的需求？解 令 ，在月初进货时的库存量为 .则X“这 种 商 品 的 月 销 售 量 ” n(8)XP要求出满足要求的最小库存量 ，即求出使下式成立时 的最小值n80().9!iiPe查泊松分布表可知 ，1.X(12)0.936PX2.4 常用离散分布（一）第 5 页 共 6 页 所以，月初进货时，至少需要 12（件）的库存量才能有 90%的把握满足顾客的需求。三、二项分布的泊松近似定理 在 重伯努利实验中,记事件 在一次实验中发生的概率为 （与 有关）,nAnp如果当 时,有 ,则0np.lim(1)!kknnCpe证明 令 ，
9、则np()2(1)(1) ()!kk knknCk 11()()(! nk kn nnke 由于泊松定理是在 的条件下获得的，故在计算二项分布 时，当 较np (,)bp大 ， 较小 ， 大小适中 时，可以用泊松分布作近似，即(10)n(0.1)(0.1)np,2!kknnCe注 当 愈大, 愈小,近似程度愈好.p例 2.4.6 已知某疾病的发生率为 0.001,某单位共有 5000 人.问该单位患有这种疾病的人数不超过 5 人的概率？解 令 ，则0X“该 单 位 的 人 中 患 这 种 疾 病 的 人 数 ”(50,.1)Xb因为 01,.1,510npnp所以，近似有 ()P故 5500.
10、9.61!kkknkCe例 2.4.7 有 10000 名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初缴纳 200 元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可从保险公司获得 100000 元的赔偿费。据生命表知这类人的年死亡率为 0.001.试求保险公司在这项业务上(1) 亏本的概率。2.4 常用离散分布（一）第 6 页 共 6 页 (2) 至少获利 500000 元的概率。解 （1）令 ，则10X“名 投 保 人 在 一 年 中 死 亡 的 人 数 ”(,.01)b这 10000 名投保人为保险公司带来的收入为： 元2020因为 0 ,.,npnp所以，近似有
11、 ，故(1)XP(0)X“保 险 公 司 亏 本 ”） 1()P20!k.980.2（2） (5P“保 险 公 司 至 少 获 利 元 ”） (15)0!k.9例 2.4.8 为了保证设备正常工作，需要配备一些维修工人。已知每台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.试在以下各种情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率。(1) 一名维修工负责 20 台设备。(2) 3 名维修工负责 80 台设备。解 令 20X“该 名 维 修 工 人 负 责 的 台 设 备 在 同 一 时 刻 出 故 障 的 台 数 ”8Y名 维 修 工 人 负 责 的 台 设 备 在 同 一 时 刻 出 故 障 的 台 数则 , (20.1)b(80,.1)b所以， P“不 能 及 时 维 修 ”PX(1)0.2!ke1.980.1()“不 能 及 时 维 修 ”(3)Y(3)0.9!k.7.3注：从本题可以看出，多人合作可以提高工作效率。作业： 104;9P
