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1、1维恩图在集合问题中的应用每个学生都应该用的“超级学习笔记”维恩图在集合问题中的应用数形结合思想是高中数学的基本数学思想之一。维恩图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系例如，集合 A=0，1，3，5，可以用图 1 来表示；集合 A 是集合 B 的真子集，可以用图 2 表示；集合 AB 可以表示成图 3；集合 AB 可以表示成图 4有了上述的表示方法，我们就可以利用维恩图来解决有关集合问题了【例 1】已知全集 U=N，集合 A=x|x=2n,nN, B=x|x=4n,nN，则 U=（ ）AU=AB B （ ）B UAC A D U分析与解：由集合 A=x|x=2n,nN,
2、 B=x|x=4n,nN可知， B 是A 的真子集，于是，可以用维恩图表示成图 5 的形式由图 5 可得，U= A UB【例 2】设全集 U=0,1,2,3,4，集合 A=0,1,2,3，集合 B=2,3,4，则 =（ ）()A0 B 0,1 C0,1,4 D0,1,2,3,4分析与解：将已知条件用维恩图表示（如图 6） ，由维恩图可知，=4， =0，1 ，所以 =0,1,4故选 C U()UAB【例 3】设全集 U= N*，若|8,x1,8U2,6UBA()UAB，则（ ）4,7AA=1,8，B=2,6 BA=1,3,5,8 ，B=2,3,5,6AB图201 3 5A图1图 3BASABA
3、B图 4UUAB图 521301A B4ABU图 62维恩图在集合问题中的应用每个学生都应该用的“超级学习笔记”CA=1,8 ，B=2,3,5,6 DA=1,3,8 ，B=2,5,6分析：本题可以利用维恩图来表示已知条件，从而直观地解决问题解：由 U= N*，得 U=1,2,3,4,5,6,7,8由|8,x可知，元素 1，8A，且 1，8 B，于是，1,UAB可以在维恩图中标出这两个元素的位置（如图 7 所示） ；由得，元素 2，6B，且 2，6 A，同样地又可2,以在维恩图中标出元素 2 和 6 的位置；又由 可知，元素 4，7 在全集()UB4,7U 中、集合 A，B 之外(如图 8)；所
4、以，全集 U 中剩下的两个元素 3，5A B，在维恩图中标出元素 3 和 5所以，由图 8 可知，A=1,3,5,8，B=2,3,5,6故选 B【例 4】设全集为 U，已知集合 A=2，4，6，8，10， =1，3，5，7，9 ，=1，4，6 ，8，9 ，求集合 BU分析：本题给出了集合 A， 和 ，需要由这三个U条件确定集合 B，于是，可以通过对已知条件的分析，并借助于维恩图来解决问题解：如图，因为 A=2，4，6，8，10，=1，4，6 ，8，9 ，所以，元素 1 和 9 既不在集合 A 中，U也不在集合 B 中，于是，元素 1 和 9 在全集 U 中、但在集合 A，B 之外，即 1，9（如图 8） ；又因为 3,5,7 ，但 3，5，7 ，所以，元素()()U3，5，7 必属于集合 B；因为 2，10 ，但是 2，10 ，所以， 2，10 ，即 2，10A（如图 8） 所以，集合 B=2，3，5，7，10A从上面的几个例子我们不难发现：由于维恩图能够直观地表示集合以及集合于集合之间的关系，所以，利用维恩图可以帮助我们形象而又简捷地地解决问题因此，同学们要逐步地形成利用维恩图解题的意识，提高自己解决问题的能力192110468A B357ABU图 8()U4731518A B26ABU 图 7
