动态经济学(复习资料)

1动态经济学核心内容第一章 导论1、什么是动态经济学？动态经济学是通过描述经济系统的差分方程或微分方程研究经济系统的特性和经济变量随时间的演化，或者更进一步研究经济系统的最优决策问题2、什么要学习动态经济学？3、如何学习动态经济学？学什么？动态经济学分类（1）按时间连续性离散时间动态经济学连续时间动态经济学 （2）按变量维数一维动态经济系统二维动态经济系统三维动态经济系统（3）按变量阶数低阶动态经济系统高阶动态经济系统（4）按复杂性线性动态经济系统非线性动态经济系统非混沌系统混沌系统（5）受控性` 齐次动态方程非齐次动态方程（6）显含时间自治动态方程2非自治动态方程4、如何应用动态经济学？第三章 连续时间动态经济系统一、一维线性维分系统1、一维线性维分系统一阶微分方程的一般形式为(3.1)),(txfdt进一步的形式是 ()utwt其中， 和 一样，都是 的函数，可以是 、 、 等 的复杂函数，当然，uwt2esin()t和 也可以是常数当动态系统中存在包括二阶甚至更高阶的导数，产生高阶微分方程对于二阶微分方程，引入“变化率的变化率”即二阶导数一类简单的 n 阶线性微分方程的一般形式为(3.2)),,(1txdtfdtxnn(3.2)称为 n 阶非自治微分方程（t≠0） ，如果(3.2)右端的函数不显含 t（t=0）,则方程(3.2) 化为(3.3)),,(1xdttfdtxnn称为自治微分方程。

在经济系统的数学描述中，如果出现的函数关于未知函数和它的导数都是线性的或者说方程(3.2)中的函数 f 关于 x 和它的各阶导数是线性的则称微分方程(3.2) 为线性微分方程，否则称为非线性微分方程线性微分方程描述的经济系统称为线性经济系统n 阶线性微分方程的一般形式为(3.4))(11 tgxadtdtxat nnnn 当微分方程(3.4)右端为 0（ ）时，微分方程(3.4)称为齐次的，否则称为非齐次的（()g） )0gt2、微分方程的解如果一个函数 代入微分方程中，使微分方程在区间 上成为一个恒等)(tx bta式，则称这个函数在该区间上是微分方程的解1）解一阶微分方程的分离变量法（2） 一阶线性微分方程的解3当 为常数时，方程：at)(0daxt这时解式化为 atCex一阶线性非齐次微分方程方程改写为 )(tgxta非齐次方程通解为齐次方程的通解 和非齐次方程的一个特解 之和，则1 )(2tx是)()(21txtx例已给非齐次方程 5.0x齐次方程 1的通解为 tCetx.0)(非齐次方程的一个特解：令 代入非齐次方程得到g25.解得 g=15，于是非齐次方程的通解为 1)(.021text（3）初值解一阶线性常系数微分方程的初始问题是：求 x(t)使得：0ga得到一阶线性微分方程的包含一个任意常数的通解，那么求初始问题的解就是在通解中，确定一个常数 ，使得这个解满足中的初始条件。

显然初始解为1Ctatadgext0)()()(0相应的齐次方程的初始问题0)(t的解为)(0taex例 解初始问题 2)(5.1非齐次方程的通解为 1.0tCetx由初始条件=205)(.解得 C=5，于是该初始问题的解为 1.0tetx（4）二阶常系数线性微分方程的解二阶常系数线性微分方程的一般形式为4或2(,)dxdxft(,)ftx(3.5)gba这里“..”表示对时间的二阶导数与一阶线性方程一样，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解由相应的其次方程(3.6)0x的通解加非齐次方程的特解构成齐次方程其特征方程：(3.7))(2ba特征方程的特征根:，214ab224下面就特征方程的三种情况进行讨论1) ,这时特征方程有两个相异的实根 ，这时方程 (3.6)有两个线性无关解cb221,和 ，于是得到齐次方程的通解tex1t2 ttecx21(2) ，这时特征方程有两个相同的实根，它们是 4221b容易验证这时方程(3.27)有两个线性无关解 和 ，于是得到齐次方程的通解text2tc1(3) ,这时特征方程有两个共轭复根 ，设它们是cb42,，j1j2容易验证这时方程(3.6)有两个线性无关解)cos(text )sin(text于是得到齐次方程的通解 21ctt例（1） 540x解特征方程 2，12因此， ，4txete，c1、c2 为可选择常数12tc（2） 0解特征方程 4，12因此， ，txe2txe，c1、c2 为可选择常数12()c5（3） 240x解特征方程1,23i因此， ，costxet2sin3txet所以，通解为 1(i)t t（4）求 ， ， 的解。

240(1(0解特征方程 21,3i因此， ，costxet2sin3txet所以，通解为 1(i)t t1=x(0)=c1-c1+c2*3^(1/2)c2=1x23c2(ossin3)tett求下列微分方程的解:（1） 0x（2） 49x（3） 52（4） ; ,6()1(0)x（5） ; ,x1二、一阶线性微分方程组两个以上的微分方程共同描述一个系统，称为微分方程组1、来自高阶微分方程的一阶微分方程组及初值问题n 阶线性微分方程的初值问题的提法是(3.8)11()nnnndxdxaabtttt01200 00,,)( ntnt xdx引进新的变量 121 )(,)(,)( nntdtxtx则有 213nx16(3.9))(121tgxaxannn 最后的方程是直接由方程(3.8)得到的，n 个未知函数满足的初始条件可以直接由(3.9) 得到00,)(nxt为了简单线性微分方程组可以写成向量矩阵的形式引进向量 和Tnx],[1以及矩阵Ttgt)](,0[)(b,1100aanc A则上微分方程组可以写成如下向量矩阵的形式(3.10))(tcbx再引进向量 ，则初始条件也可以写为向量形式Tnx],[0100)(t这里行向量的上标 T 表示转置，也就是说假设 等向量都是列向量。

t例 用二维线性微分方程组解 24x令 ，则xy2402、一般一阶微分方程组及初值问题n 维线性微分方程的初制值问题的一般形式为)(1211 tbxaxaxn 101)(xt22 22)(21 tnnn 0)(nnt记nnaa 21221A)(21tbttn)()()(0210txttn则上初值问题可写为 xA组经济系统中常见二阶系统它的具体形式为：,1121()xabt 10x,2 22写成向量矩阵形式为, )(212121 tbxax 201021)(xt记， ， ，2)(21ttb21aA2017则上面的二阶系统可写成如下的向量矩阵形式)(tbAx 0)(xt线性方程组的基本性质：(1) 非齐次线性微分方程组 )(t的一个特解与相应的齐次线性微分方程组x的通解的和是非齐次方程组的通解2)齐次线性微分方程组的任意两个解的线性组合还是它的解3)如果 n 阶齐次线性微分方程组有 n 个线性无关解 ,则)(,)(1ttnx)()(1Ctt nx是它的通解。

定理 如果矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 ，则齐次方程组nv,1xA的通解为(3.11)tnteeCt vx1)(其中 是 A 的与 对应的特征值iiv例求 的通解x21它对应的特征方程为 2143()10对应的特征值为 ， ，它们对应的特征向量由解以下方程求得对于312，特征向量应满足3110v令 ，则上式化为Tv121 120v解得 对于 ，特征向量应满足T1221令 则上式化为Tv212 210v解得 于是齐次方程组的通解为T2 tteCet 1)(231x3、一阶线性微分方程组的稳定性8考虑齐次微分方程组 xA描述的动态经济系统，显然 是它的一个均衡状态0*x如果矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 ，则齐次方程组(3.51)的通解为nv,1x(t)= tt neCev其中 是 A 的与 对应的特征值iiv定理 由常系数微分方程组描述的动态经济系统的均衡状态 是渐近稳定的充分0*x必要条件是矩阵 A 的所有特征值均有负实部。

当系统渐近稳定时简称 A 为稳定矩阵定理 如果矩阵 A 至少有一个特征值有正实部 则由常系数微分方程组 (3.51)描述的动态经济系统的均衡状态 是不稳定的0*x设二维经济系统的状态方程组为 xA其中 21a显然 是它的均衡状态，如果矩阵 A 可逆则 是该系统的唯一均衡状态0x 0x设 A 有两个不同的特征值 并假设 是与它们对应的特征向量，则的通解为21,,vtteCt21)(21a=01221[]AI= =0 1212()(-)aa令 ，为 A 的迹12)tr，为 A 的行列式的值，则特征方程变为1de-2-(det()0tA解得： 21,2)4et()r对应 的 值称为矩阵 A 的特征值或特征根而对应于每一个特征根的([]0fI向量 （ =0） ，若使A则 （ =0）称为特征向量这是一个重要概念值得注意的是，对应于每一个特征根的特征向量并不是唯一的，这是因为每一个特征向量的任何倍数也是是一个特征向量一般情况下作归一化（取单位值）处理矩阵 A 对决定着 的稳定性，而 A 的 和 决定对 ，有几种x ()trdet()21,情况(1) 为不同的负实数21,当 时， ， 。

由式(4.2)知，当 时， ，即此时均t0tie2,1i t0)(tx衡状态 是渐近稳定的这时所有从初始状态出发的解都收敛到均衡状态，这个均衡0x状态称为稳定结点结点（吸引子）的特征是所有的轨线都通过这一点9(2) 为不同的正实数21,当 时， ， 由式(2,4,2)知当 时 ，即此时均衡ttie2,1i t)(tx状态 是不稳定的这个均衡状态称为不稳定结点0x(3) 为正实数， 为负实数12当初始状态 位于 所在的直线上时，对于从 所在的直线出发的解满足)(1v1v21)0(xC由于 位于 所在的直线上，因此 ，即解(4.2)化为 )0(x12tet1这个解总保持在 所在的直线上，又由于 为正实数，所以当 时 ，因此v tte1称 所在的直线为该动态经济系统的不稳定臂1v当初始状态 位于 所在的直线上时，对于从 所在的直线出发的解满足)0(x2 2v1)0(xC由于 位于 所在的直线上，因此 ，即解(4.2)化为 )(2 tet2这个解总保持在 所在的直线上，并且由于 为正实数，所以当 时 ，因v t02te此称 所在的直线为该动态经济系统的稳定臂。

2对于从不在稳定臂和不稳定臂上的点(初始状态) 出发的解中，正特征值占优，从上面出发的解的路径和从 下面 上面出发的解的路径将趋向于 的方向，这时解1,v1v2 1v将趋向于正无限大；负特征值占优，从 下面出发的解的路径和从 上面 下面出发, 2。