机械振动——简谐运动的基本概念2

旋转矢量引言：前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系本节将介绍用旋转矢量表示位移和时间的关系引入旋转矢量的优点：1）形象地了解简谐运动的各个物理量；2）为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法一、旋转矢量图示法：一长度为 A 的矢量 在 XOY 平面内绕 O点沿逆时针方向旋转，其角速度为 ω，在 t=0时，矢量与 X 轴的夹角为 φ；这样的矢量称为旋转矢量在任意时刻，矢量 与 X 轴的夹角为 ， 的矢端 M 在轴上的投影为 t) cos(tx即：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量的矢端在 X 轴上的投影点在作简谐运动在旋转矢量的转动过程中，矢端作匀速圆周运动，此圆称为参考圆二、旋转矢量与简谐运动的关系：简谐振动的方程 x=Acos(ωt+φ)，根据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量 A 在 x 轴上的投影振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期当一矢量 A 绕其一端点 o 以角速度  旋转时，另一端点在 x 轴或 y 轴上的投影点上将作简谐振动设 t=0 时， A 与 x 轴夹角为 ，t 时刻，A 转过 t 角，则矢量端点在 x 轴上投影点坐标为 x =Asin（ωt+φ）。

显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与 A 矢量大小、旋转角速度、初始 A 与 x 轴夹角一一对应当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应A ←→ 振幅 ←→ 圆频率φ ←→ 初相位ωt+φ ←→ 相位三、旋转矢量的应用：1．作振动图(演示)：用旋转矢量 A 来表示简谐振动形象直观，一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便110旋转矢量图及简诣运动的 x-t 图2．求初相位：如图，质点在 x=A/2 处向右运动， 3/＝质点在 x=A/2 处向左运动， /＝质点在 x=-A/2 处向右运动， 2＝质点在 x=-A/2 处向左运动， ＝3．可以用来求速度和加速度：矢端 M 的速度与加速度大小为 、AvM，在 X 轴上的投影为Aa2) tcos() tcos(inin2 v－4．振动的合成(第 6 节内容)例：一个质点沿 x 轴作简谐运动，振幅 A=0.06m，周期 T=2s，初始时刻质点位于 x0=0.03m 处且向 x 轴正方向运动求：（1）初相位；（2）在 x=-0.03m处且向向 x 轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间。

解：（1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为tAcos依题意，有 A=0.06m，T=2s，则 12sradT在 t=0 时， mx03.co6.00inv因而解得 3故振动方程为（SI）cos06.tx用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故 3 机械振动——简谐振动的基本概念111（2） 时，1t03.cos06.1tx且 为第二象限角，故32得 t1=1s，因而速度和加速度为 116.03sin06.  smtdxvst 2212 .co. tast从 x=-0.03m 处且向向 轴负方向运动到平衡位x置，意味着旋转矢量从 M1 点转到 M2 点，因而所需要的最短时间满足6532t故 st8.065可见用旋转矢量方法求解是比较简单的112单摆与复摆引言：实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单，大多数比较复杂；例如1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮力等其它性质的力；2）合外力可能是非线性力，只有在一定的条件下，才能近似当作线性回复力此时研究问题的方法一般为：根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模型，使计算简化。

下面讨论两个实际振动问题的近似处理一、单摆——数学摆（Mathematical Pendulum）1．概念：单摆是一个理想化的振动系统：它是由一根无弹性的轻绳挂一个质点构成的若把质点从平衡位置略为移开，那么质点就在重力的作用下，在竖直平面内来回摆动摆锤——重物摆线——细绳平衡位置——O 点2．动力学方程讨论摆锤所受的力，有重力 mg，绳的拉力 T，合力即为摆锤所受的回复力为： sinmgF当 θ 很小时（θ<5 0） ，sinθ≈θ因而 F=-mgθ 与角位移成正比又因为摆锤沿圆弧运动， ，近似在水平方向上运动lxlx/＝，因而 g故单摆作简谐运动，mg/l 相当于弹簧振子的 k因而单摆的圆频率为 lgm23．运动学方程和周期单摆的振动方程为 txcos0振幅 x0 和初相 φ 由初始条件确定由简谐运动的周期公式 kT2＝得单摆的周期为 gl＝4．说明：1）单摆的合外力与弹性力类似，但本质不同，称为准弹性力；2）单摆的周期与单摆的质量无关；3）若单摆的振幅不是很小时，周期的一般表达式为 2sin4312sin12mmglT＋＝式中 θm 为最大摆角，并且含有 θm 的各项逐渐减小；当 θm<15 0 时，实际周期与理想周期的误差不超过 0.5%。

机械振动——简谐振动的基本概念1134）单摆可以当作计时器；5）单摆提供了一种测量重力加速度的简便装置，只要测出周期 T，则lTg245．单摆的频率l＝lgT21＝二、复摆——物理摆（Physical Pendulum）1．概念：质量为 m 的任意形状物体，被支持在无摩擦的与纸面垂直的水平轴 O 上，将它拉开一个微小的角度 θ 后释放如忽略阻力与摩擦力，则物体将绕轴 O 作微小的自由摆动 ——复摆2．运动方程重力矩： M=-mglsinθ≈-mglθ当 θ 很小时（θ<5 0） ，sin θ≈θ根据转动定律，可得2dtJmgl＝＝－故 02＝＋dt令 Jl则 2＝＋ t所以复摆也是作简谐运动3．周期与频率mglJT2＝ Jmgl4．应用1）测重力加速度：要求已知 J，l，测 T→g2）测转动惯量：如果测出摆的质量，重心到转轴的距离以及单摆的周期，就可以得此物体系统绕该轴转动得转动惯量有些形状复杂得物体得转动惯量，用数学方法进行计算比较困难，有时甚至是不可能得，但用振动方法可以测定（要求已知 g， l，测 T→J） 。

114简谐运动的能量引言：作简谐运动的系统，除具有动能外，还具有势能，其能量是动能和势能的和一、简谐运动的能量1．能量表达式以弹性振子为例假设在 t 时刻质点的位移为 x，速度为 v，则Axcosvin则系统动能为： tmAvEk 22sin1系统动能为： kxp2co＝因而系统的总能量为tktpk 22cos1sin1＋＋＝考虑到 ，则m＝222kAE＝＝即弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变说明：1．E ∝ A2，对任何简谐运动皆成立；2．动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关动能 Ek=E-Ep2．能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程由能量守恒关系可得：k A 2/2= mv02/2+ kx02/2， 解之即得：202vx＝二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量 f(t)，在时间 T 内的平均值定义为 机械振动——简谐振动的基本概念115Tdtff01因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为2202 41sinkAmdtmATEk 因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为p kt0 22241cos1＝结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。

三、应用在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能） ，且二者之和保持不变，因而有0pkEdt将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率这种方法在工程实际中有着广泛的应用此方法对于研究非机械振动非常方便例 1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即CkAxmv2221两边对时间求导，得01dtt即2xvkdtv0m令 ，则k＝22xdt其解为tAcos代入守恒方程可得A=A’例 2．劲度系数为 k、原长为 l、质量为 m 的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为 M 的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程解：取物体受力平衡位置 O 为坐标原点，向右为 x 轴正方向，如图所示，设116m

若忽略阻力，则系统机械能守恒当物体位于 x 处时，弹簧的动能与物体的动能分别为2021612mvldlElk Mvk系统的势能为21xEP根据机械能守恒定律，有constkxvm＝＋＋ 226M＝＋ 131将上式对时间求导，整理后可得0＝＋ kxdtv或写成2＝＋tx式中 mMk31/＝可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子的运动可以认为是简谐运动，振动周期为kT/2可见，周期比不计弹簧质量时要大不过当 m=M 时，与严格计算结果相比较，误差也是不大于 1％ 机械振动——简谐振动的基本概念117。