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1、方案设计问题【专题点拨】方案设计问题特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点。【解题策略】从实际问题入手 归纳若干信息 提出问题要求 引导设计操作判断优化方案 【典例解析】类型一：设计测量方案型问题例题 1：（ 2016内蒙古包头3 分）如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点P 为 OA 上一动点，PC+PD 值最小时点 P 的坐标为（）A （3，0 ） B （6，0） C （ ，0） D （ ，0）【考点】一次函数图象上点的
2、坐标特征；轴对称-最短路线问题【分析】根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点 C、D 的坐标，根据对称的性质找出点 D的坐标，结合点 C、D的坐标求出直线 CD的解析式，令 y=0 即可求出 x 的值，从而得出点 P 的坐标【解答】解：作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如图所示令 y= x+4 中 x=0，则 y=4，点 B 的坐标为（0 ，4 ） ；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得：x=6，点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C（3，2 ） ，点 D（
3、0，2） 点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为（0，2） 设直线 CD的解析式为 y=kx+b，直线 CD过点 C（3，2） ，D （0，2） ，有 ，解得： ，直线 CD的解析式为 y= x2令 y= x2 中 y=0，则 0= x2，解得：x= ，点 P 的坐标为（ ， 0） 故选 C变式训练 1：（2016云南省昆明市）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为A（ 1，1） ， B（4 ，2） ，C （3 ，4）（1）请画出将 ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形A1B1C1；（2）请画出 ABC 关于原点 O 成中心对称的图形A2B2C2；（3）在 x 轴上找一点 P，使
4、 PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标类型二： 设计搭配方案问题例题 2：（ 2016黑龙江龙东10 分）某中学开学初到商场购买A、 B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个，B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 钟品牌的足球多花 30 元（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元（2）学校为了 响应习总书记 “足球进校园”的号召，决定再次购进 A、 B 两种品牌足球共 50 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元，B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出
5、售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 70%，且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于23 个，则这次学校有哪几种购买方案？（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用【分析】 （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“总费用=买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及B 种足球单价比 A 种足球贵 30 元”可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 中足球（50m ）个，根据“总费用= 买 A
6、 种足球费用+ 买 B 种足球费用，以及 B 种足球不小于 23 个” 可得出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组可得出 m 的取值范围，由此即可得出结论；（3）分析第二次购买时，A、B 种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论【解答】解：（1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，依题意得： ，解得： 答：购买一个 A 种品牌的足球需要 50 元，购买一个 B 种品牌的足球需要 80 元（2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 中足球（50m ）个，依题意得： ，解得：25m27 故这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买
7、 A 种足球 25 个，B 种足球 25 个；方案二：购买 A 种足球 26 个，B 种足球 24 个；方案三：购买 A 种足球 27 个，B 种足球 23 个（3）第二次购买足球时，A 种足球单价为 50+4=54（元） ，B种足球单价为 800.9=72（元） ，当购买方案中 B 种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多2554+2572=3150（元） 答：学校在第二次购买活动中最多需要 3150 元资金变式训练 2：（2016湖北荆门 12 分）A 城有某种农机 30 台，B 城有该农机40 台，现要将这些农机全部运往 C，D 两乡，调运任务承包给某运输公司已知 C 乡需要农机 34
8、台，D 乡需要农机 36 天，从 A 城往C，D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/台，从 B 城往C，D 两乡运送农机的费用分别为 150 元/台和 240 元/台（1）设 A 城运往 C 乡该农机 x 台，运送全部农机的总费用为W 元，求 W 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；（3）现该运输公司决定对 A 城运往 C 乡的农机，从运输费中每台减免 a 元（ a200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？类型三： 设计销售方案问
9、题例题 3：（ 2016湖北荆州8 分）为更新果树品种，某果园计划新购进 A、 B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于A 种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用【分析】 （1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；（2）根据所需费用为 W=A 种树苗的费用+B 种树苗的费用，即可解答【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y
10、=kx+b，把（20，160） ， （40，288）代入 y=kx+b 得：解得：y=6.4x+32（2）B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，22.5x35，设总费用为 W 元，则 W=6.4x+32+7（45x）=0.6x+347，k=0.6，y 随 x 的增大而减小，当 x=35 时， W 总费用最低， W 最低 =0.635+347=137（元） 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键变式训练 3：（2016 河南） 学校准备购进一批节能灯，已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元；3 只
11、A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元（1）求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只，并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由类型四： 设计几何图案问题例题 4：（ 2016江西6 分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB 是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹（1）在图 1 中画出一个 45角，使点 A 或点 B 是这个角的顶点，且 AB 为这个角的一边；（2）在图 2 中画出线段 AB
12、 的垂直平分线【考点】作图应用与设计作图【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题【解答】解：（1）如图所示， ABC=45 （AB、AC 是小长方形的对角线） （2）线段 AB 的垂直平分线如图所示，点 M 是长方形 AFBE 是对角线交点，点 N 是正方形 ABCD 的对角线的交点，直线 MN 就是所求的线段 AB 的垂直平分线变式训练 4：（2014浙江宁波，第 26 题 14 分）木匠黄师傅用长 AB=3，宽BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆
13、心 O1、 O2 分别在 CD、 AB 上，半径分别是O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设 CE=x（0 x1） ，圆的半径为 y求 y 关于 x 的函数解析式；当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大【能力检测】1. （2016山东省东营市8 分）东营市某学校 2015
14、年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；(2)2016 年为响应习总书记“足球进校园” 的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高 了 10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了 10%如果此次购买甲、乙两种足球的总 费用不超过 2900 元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？2. （ 2015恩施州第 22 题
15、 10 分）某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划用这两种原料全部生产 A、B 两种产品共 50 件，生产 A、B 两种产品与所需原料情况如下表所示：原料型号甲种原料（千克） 乙种原料（千克）A 产品（每件） 9 3B 产品（每件） 4 10（1）该工厂生产 A、B 两种产品有哪几种方案？（2）若生成一件 A 产品可获利 80 元，生产一件 B 产品可获利120 元，怎样安排生产可获得最大利润？3. 为了配合“绿色盐 城” 建设，展示“射阳风景”，某社区计划对面积为 3600m2 的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 600m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 3 天（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；（2）设甲工程队施工 x 天，乙工程队施工 y 天，刚好完成绿化任务，求 y 与 x 的函数解析式；（3）若甲队每天绿化费用是 0.8 万元，乙队每天绿化费用为 0.3 万元，且甲乙两队施工的总天数不超过 25 天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用4. （2016湖北武汉10 分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元
