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1、延安大学西安创新学院 期末考试命题专用纸第 1 页 共 6 页课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 开卷 其他 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效一、单选题（4*10=40 分）1设 ， 是向量，命题“若 ，则 ”的逆否命题是 （ abab|）（A）若 ，则 （B）若 ，则| ab|（C）若 ，则 （D）若 ，则|ab|2设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线的方程是 （ 2x）（A） （B） （C） （D）28yx28y4yx24yx3设函数 （ R）满足 ， ，则函数 的图()f()fxf(2)(ff()
2、f像是 （ ）4 （ R）展开式中的常数项是 （ 6(2)x）（A） （B） （C）15 （D）200155某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）（A） 283（B）（C）（D） 23延安大学西安创新学院 期末考试命题专用纸第 2 页 共 6 页6函数 在 内 （ ）()cosfxx0,)（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点7设集合 ，22|csin|,MyxR， 为虚数单位， R ，则 为（ ）1|NxixMN（A） （0，1） （B） ， (01（C） ， （D） ，)8右图中， ， ， 为某次考试三个评阅人对同一道题1x23的 独立评
3、分， 为该题的最终p得分，当 ， ， 时， 等于（ ）16298.5p3x（A）11 （B）10 （C）8 （D）79设 ， 是变量 和 的 个样本点，12(,),xy3(,)xyxyn直线 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程l（如右图） ，以下结论中正确的是 （ ）（A） 和 的相关系数为直线 的斜率l（B） 和 的相关系数在 0 到 1 之间xy（C）当 为偶数时，分布在 两侧的样本点的个数一定相同n（D）直线 过点l(,)x10甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们
4、同在一个景点的概率是 （ ）（A） （B） （C） （D）136195366二、解答题（10*5=50 分，选做 5 道题目即可）1如右图，B=D， ， ，AE90且 AB=6，AC=4，AD=12，求 BE 的长度延安大学西安创新学院 期末考试命题专用纸第 3 页 共 6 页2 设函数 定义在 上， ，导函数 ，()fx(0,)(1)0f1()fx()()gxfx（1）求 的单调区间；（2）讨论 与 的大小关系；()gx13植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程
5、总和最小，求这个最小值4叙述并证明余弦定理5 （1）作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容；（2）请至少列出与三角形相关的5个性质命题6就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语三、证明题（10分）如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点，1ABC,ABCDE1ABC平面 ，求证： DE1一、选择题（4*10=40 分）1C 2 B 3 B 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 D 二、解答题（10*5=50 分，选做 5 道题目即可）1.如图，B=D， ， ，且 AB=6，AC=4，AD=12，求 BEE90解：因为 ，A所以AEB= ，90C又因为B
6、=D，所以AEBACD，5 分所以 ,DAEB延安大学西安创新学院 期末考试命题专用纸第 4 页 共 6 页所以 ，6421ABCED在 RtAEB 中， 5 分264AE2. 设函数 定义在 上， ，导函数 ， ()fx(0,)()0f 1()fx()()gfx（1）求 的单调区间；g（2）讨论 与 的大小关系；()x1解：（1） ， （ 为常数） ，又 ，所以 ，即f()lnfxc(1)0fln10c，0c ； ，()lnfx1()lg ，令 ，即 ，解得 ，2 分21g 0x20x1x当 时， ， 是减函数，故区间在 是函数 的减区间；(0,)x()()(,)()gx当 时， ， 是增函
7、数，故区间在 是函数 的增区间；1gx3 分（2） ，设 ， ()lnx11()()2lnhgxx则 ，21h当 时， ，即 ，x()01()gx当 时， ， ，,10h()因此函数 在 内单调递减，()hx,)当 时， =0， ；0(11()gx当 时， =0， 5 分1x()x3.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为解：（方法一）设树苗放在第 个树坑旁边（如图） ，i1 2 19 20i延安大学西安创新学院 期末考试命题专用纸第 5
8、 页 共 6 页那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是(1)0(2)1()10()10(2)10si ii i 20ii，8 分2()i所以当 或 时， 的值最小，最小值是 1000，所以往返路程的最小值是 2000 米.1s2 分（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 ；树苗放在第 10 个（或第19()10(2)0238011 个）树坑旁边时，路程总和是 (2
9、1)2 ，所以路程总和最小为 2000 米.9()1)1091210 分4. 叙述并证明余弦定理解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有，22osab，c.5 分22csaC证明：（证法一） 如图， 2BABCA2ACA 2cos2cosb即 2csabA同理可证 ，ocaB22csC5 分（证法二）已知 中， 所对边分别为 ，以 为原点， 所在直线为 轴ABC, ,abABx延安大学西安创新学院 期末考试命题专用纸第 6 页 共 6 页建立直角坐标系，则 ，(cos,in),(0Cb
10、ABc 2222222| )oscssinaBbAbA，csb即 22csa同理可证 ，obcaB22csbC5 分5. （1） “三垂线定理”复述正确3分“三垂线逆定理”复述正确2分（2）5个命题每题1分。6. 开课语5分：其中正确性3分；艺术性2分。结束语5分：其中正确性3分；艺术性2分。三、证明题（10分）如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、1ABC,ABCDE1A的中点， 平面 ，证明：1BDE证明：方法 1：连结 BE， 为直三棱柱，190,C为 的中点， 。5 分E1BEC又 平面 ，D1（射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ，CDABC（相等的斜线段的射影相等） 。5 分A方法 2：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，5 分BFE进而证 ， ，得 也可。5 分DABC方法 3：利用空间向量的方法。具体解法略。
