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1、向量在解析几何中的应用 1. 设 A、B 是抛物线 上两点， 为坐标原点，且 ， 点的42xyO2OBAPP坐标为 ，则直线 AB 的斜率为 （ ）1,0（A） （B）1（C）2（D）32. 设 =（1， ） ， =（0，1） ，则满足条件 0 1，0 1OMNPMOPN的动点 P 的变动范围（图中阴影部分，含边界）是 （ ）3. 设 F1、F 2 为椭 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、 Q 两点，1342yx当四边形 PF1QF2 面积最大时， 的值等于 （ ）2PFA0 B 1 C2 D44.O 为空间中一定点，动点 P 在 A、B、C 三点确定的平面内且满足（ ）（OA
2、）=0 ，则点 P 的轨迹一定过ABC 的 CB（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（4，2） 、 （3，1） ，O 为坐标原点。已知| |=C，且直线 的方向向量为 =（1，2） ，求顶点 C 的坐标。CD/,|,| i6.已知 （0 为坐标原点，动点 M 满足),3(),0(21OF12|0.F（1）求点 M 的轨迹 C；（2）若点 P、Q 是曲线 C 上的任意两点，且 ,求 的值。0OQP2Poyx2 1Boyx112Aoyx112Coyx-2 1-1D7.已知：过点 A（0，1）且方向向量为 的直线 l 与C:(x2) 2+(y3) 2
3、=1 相交于),1(kaM、N 两点。 （1）求实数 k 的取值范围； （2）求证： =定值。 （3）若 O 为坐标原点，ANM且 12，求 k 的值。O8. 已知动点 P 与双曲线 的两个焦点 、 的距离之和为 6。132yx1F2（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）若 ，求 的面积；21F21（3）若已知点 D（0，3） ，M、N 在 C 上且 ，求实数 的取值范围。DN9.已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且 0， （ 1）当 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹方程；PM2（2）过点 T（1，0）作直线 l
4、交轨迹 C 与 A、B 两点，若在 x 轴上垂直一点 E ，使)0,(x ,且 与 的夹角为 600，求 的值|AE|BAx310. 如图所示，已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点，BC过椭圆中心 O，且 ，|BC|2|AC|0（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II）如果椭圆上有两点 P、Q ，使PCQ 的平分线垂直于 AO，证明：存在实数 ，使PQAB11. 已知常数 a0，向量 ，经过定点 A（0，a）以 为方向向)0,1(),(namnm量的直线与经过定点 B（0， a）以 为方向向量的直线相交于点 P，其中 .2 R（）求点 P 的轨迹 C 的
5、方程；（）若 过 E（0，1）的直线 l 交曲线 C 于 M、 N 两点，求 的取值范围.,2 EN12. 已知焦点在 轴上的椭圆 是它的两个焦点.x212(0),4xybF（）若椭圆上存在一点 P，使得 试求 的取值范围;12F（）若椭圆的离心率为 ，经过右焦点 的直线 与椭圆相交于 A、B 两点,且2l,求直线 的方程.20FABl13. 已知 F1、F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动)0(12bayx点，并且 的取值范围是P .34,（）求此椭圆的方程；（）点 A 是椭圆的右顶点，直线 y=x 与椭圆交于 B、C 两点（C 在第一象限内） ，又 P、Q 是此椭圆上两点
6、，并且满足 求证：向量 与 共线.,0)|(21FQCPPQAB14.如图，已知 的面积为 m，且OFPOFP1（I）若 ，求向量 与 的夹角的取值范围；123m（ II） 设 ， 且 。 若 以 O 为 中 心 ， F 为 焦 点 的 椭 圆 经 过 点 P， 当 取 得|4|2 |O最 小 值 时 ， 求 此 椭 圆 的 方 程 。54.已知：O 为坐标原点，点 F、T、M、P 1 满足 ,),1(),0(MTFtOTF。,11pFTMO/1（1）当 t 变化时，求点 P1 的轨迹 C。（2）若 P2 是轨迹 C 上同于 P1 的另一点，且存在非零实数 ，使得 、21P求证： |215.设
7、平面内两向量 满足： ，点 M（x, y）的坐标满足：ba, 1|,2|,ba互相垂直。xyax与)4(2求证：平面内存在两个定点 A、B，使对满足条件的任意一点 M 均有| 等于定|BA值。6.已知 （O 为坐标原点） ， 的夹角为 60，A 、O、B 顺时),13(AOBA与且,1|针排列，点 E、F 满足 ，点 G 满足 。BFA, EF2（1）当 变化时，求点 G 的轨迹方程；（2）求 的最小值。|7.如图，点 F(a, 0) (a0), 点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上运动，点 N 为动点，且。0,0PMNFP（1）求点 N 的轨迹 C； （2）过点 F（a, 0）的直
8、线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于 A、B 两点，设 K( a,0)， 的夹角为 ，求证 。KBA与 2078.已知 ） 。baybxa3()(),1),0( （1）求点 P（x, y）的轨迹方程；（2）若直线 l: y=kx+m(km0) 与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，1）且 ，求 m|BDA的取值范围。9.已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且。MP2,（1）当 P 在 y 辆上移动时，求点 M 的轨迹 C。（2）过点 T（1,0）作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x 0
9、, 0） ，使，且 的夹角为 60，求 x0 的值。|ABE与参考答案1.B2.A 设点 P(x,y) 则 0(x,y)(1, )1 0(x,y)(0,1) 1 即 0x+ y1 0y122因此动点 P 的变化范围是 A 中的阴影部分3.C4.D5.【解】如图： ，|C|B0|CA ，A 、D 、B 三点共线，D 在线段 AB 上，|A|且 =0|B|CD 是ABC 中C 的角平分线。A、D、B 三点共线 O 、C、D 三点共线,即直线 CD 过原点。又直线 CD 的方向向量为 （1，2） ，直线 CD 的斜率为 2i直线 CD 的方程为：y2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解
10、析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点 A（4，2）关于直线 y2x 的对称点是 A（4,2） ，（怎样求对称点？）A （4,2）在直线 BC 上 直线 BC 的方程为：3x y100由 得 C（2， 4）013yx6.【解】 （1）由 10 知：|MF|动点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之和为 10根据椭圆的第一定义：动点 M 的轨迹为椭圆： 1625yx（2）点 P、O 是 上任意两点1625yx设 P( )，Q( )sin4,co5sin4,co（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） =0 得： 0 Qi而 、 都可以用 、 的三角函数表
11、示，利用可以解得：2P22O4017.【解】直线 l 过点 A（0，1）且方向向量为 （1，k）a直线 l 的方程为：ykx 1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率）将其代入C： ，得： )3()(22yx 07)(4)(2xkx xC BA y O DxQ Py O9由题意： 得：07)1(4)1(2kk 374374k（注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d0即所求的轨迹方程为： （x0） （抛物线去掉顶点）2（2）设直线 l：yk(x1)（ k0） ，代入 得：xy42设 A（ ） 、B（ ） ，则)(2k1,2,y 线段 AB 的中点坐
12、标为（ ）142x k,线段 AB 的垂直平分线方程为： (x ) ky122在中，令 y0，得 (与 x 轴的交点)20kx ,且 与 的夹角为 600，ABE 为等边三角形|AE|BA点 E 到直线 AB 的距离为 |AB|3而|AB|= 2214kk|12)(24kk解得： 代入 从而3310x10.解：（I）以 O 为原点，OA 为 X 轴建立直角坐标系，设 A（2，0） ，则椭圆方程为214xybO 为椭圆中心，由对称性知 |OC|OB| 又 ， ACBCC又|BC|2|AC| |OC| |AC | AOC 为等腰直角三角形点 C 的坐标为（1，1） 点 B 的坐标为（1，1）将 C
13、 的坐标（1，1）代入椭圆方程得 ， 则求得椭圆方程为243b2314xy（II）由于PCQ 的平分线垂直于 OA（即垂直于 x 轴） ，不妨设 PC 的斜率为 k，则 QC 的斜率为k，因此 PC、QC 的直线方程分别为 yk（x1）+1，yk（x1）+1由 得（13k 2）x 26k （k1）x3k 26k10 *）2()4ykx点 C（1，1）在椭圆上，11x1 是方程（ *）的一个根， x P1即 xP236k2361k同理 xQ 2直线 PQ 的斜率为 （定值） 22(31)() 3PQPQkykxx 又ACB 的平分线也垂直于 OA 直线 PQ 与 AB 的斜率相等（k AB= ）
14、向量 ，即总存在实数 ，使 成立/PQABPAB11.解：（）设 P 点的坐标为（x，y） ，则 ),(),(ayxPayx又 .21),),0(),1( mnman 故由题知向量 与向量 .故平 行又向量 与向量B2,xayn故平 行两方程联立消去参数 ，得点 P（x，y）的轨迹方程是 6 分.,2)(2ay即（） ，故点 P 的轨迹方程为 ,12x此时点 E（0，1）为双曲线的焦点.若直线 l 的斜率不存在，其方程为 x=0，l 与双曲线交于 、 ，)2,0(M)2,(N此时 8 分.21)2)(1NM若直线 l 的斜率存在，设其方程为 化简得代 入,kxy12xy直线 l 与双曲线交于两点，.04)1(22kxk .1.)(82解 得且设两交点为 ， 则 10 分,1y .)1(2,21 kxkx此时 )(),()()(2xENM .
