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1、控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应,本章主要内容：（1）研究控制系统在输入信号的作用下，输出信号随时间变化的规律，即研究系统的时间响应。（2）希望系统的时间响应满足稳、准、快的要求。,5.1 时间响应的基本概念,时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。控制系统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应也称动态响应，或过渡过程，或暂态响应。稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静态响应。,分析瞬态响应，选
2、择典型输入信号，有如下优点：（1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。（2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。（3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传递函数。,常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、脉冲信号及正弦信号。,典型输入信号的选择：,（1）阶跃函数(Step function),这意味着t=0时突然加到系统上的一个幅值不变的外作用。 幅值a=1的阶跃函数，称为单位阶跃函数，用1(t)来表示。 一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。,（2）斜坡函数(Ra
3、mp function),表示在t=0时刻开始，以恒定速度a随时间变化的函数，也称为速度函数。 当a=1的斜坡函数，称为单位斜坡函数。,（3）加速度函数(Parabolic function),表示在t=0时刻开始，以恒定加速度随时间变化的函数，也称为抛物线函数。 当a=1/2的加速度函数，称为单位加速度函数。,（4）脉冲函数(Impulse function),当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为(t)。 当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于(t)函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。,上述各函数之间的关系：,（5）正弦函数(Sinu
4、soidal function),正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种典型的输入信号，系统在正弦函数作用下的响应，即频率响应。,究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，需要参照系统正常工作时的实际情况。系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温调节系统。系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号。系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号。系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应5.2 一阶系统的时间响应,能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式为一阶惯性环节。其中T为时间常数。,闭
5、环极点(特征根)：-1/T,5.2.1 一阶系统的数学模型,单位阶跃输入为,输出为,单位阶跃响应为,5.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,根据上式，当t取T的不同倍数时，可得出下表3.1的数据。,表3.1 一阶惯性环节的单位阶跃响应,1/T,xo(t)=1-e-t/T,x0(t),0,1,t,T,2T,3T,4T,63.2%,86.5%,95.0%,98.2%,（1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。（2）经过时间T，曲线上升到0.632的高度。反过来，如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间，即是惯性环节的时间常数。（3）经过时间3T4T，响应曲线达稳定值的9598，可以认为其调整过程已
6、经完成，故一般取调整时间(34)T。（4）在t0处，响应曲线的切线斜率为1/T。,特点,（5）ln1-xo(t) 与时间t 成线性关系,判别系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数,其中,为常数。,一阶惯性环节识别曲线,5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应,单位脉冲输入为,单位脉冲响应为,输出为,5.2.4 一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡输入为,单位斜坡响应为,输出为,误差计算：,输入为斜坡函数时, 一阶系统存在稳态误差T 。,5.2.5 一阶系统的单位加速度响应,单位加速度输入为,单位加速度响应为,输出为,误差计算：,这就是说，一阶惯性环节在单位加速度信号作用下的稳态误差为无穷大，表示一阶惯
7、性环节不能实现对单位加速度信号的跟踪。,输 入,输 出,三种响应关系,三种输入关系,一阶系统三种典型输入信号及响应关系：,积分时间常数由零初始条件确定。,5.2.6 线性定常系统时间响应的性质,线性定常系统的重要性质系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出的初始条件确定。注意：该性质只适用于线性定常系统，不适用于线性时变系统和非线性系统。,图5.8 温度测量装置的结构图,例5.1 已知温度测量装置的结构图如图5.8所示，其中T为时间常数。现在采用该装置测量某容器中水的温度，发现需要一分钟的时间才
8、能指示出实际水温98%的数值，试计算该温度测量装置的时间常数 。如果给容器加热，使水温以10/分钟的速度变化，试计算该温度测量装置的稳态指示误差。,解：,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应5.3 二阶系统的时间响应,凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统包含两个贮能元件，能量在两个元件之间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势 。例如，由弹簧-质量-阻尼所组成的机械系统和RLC电路网络就是典型的二阶系统。, 阻尼比,无阻尼自然频率或固有频率,5.3.1 二阶系统的数学模型,系统的特征方程：,特征方程的根（闭环极点）,显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复平面的分
9、布决定系统的性能。,特征根位于s平面的左半部。,（1）0 1（过阻尼）两不相等的负实根,特征根共轭纯虚根，位于s平面的虚轴上。,（4） = 0（零阻尼/无阻尼）一对共轭纯虚根,特征根位于s平面的右半部。,（5） 0（负阻尼）两根实部为正,例5.2,5.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,（1）01（过阻尼）两不相等的负实根,特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。,（4）=0（零阻尼）一对共轭纯虚根,特点：零阻尼的等幅振荡，振荡频率为n。 n无阻尼固有频率,（5）0（负阻尼）两根实部为正,-1 0，振荡发散, -1，单调发散,上述五种情况分别称为二阶零阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统
10、和负阻尼。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,正,正,正,负,负,结论:,二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性,0时，阶跃响应发散，统不稳定。=0时，等幅振荡。01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快。1时，无振荡、无超调，过渡过程长。,一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，使系统有比较理想的响应曲线，瞬态响应时间短，且系统振荡适度。以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,0.7 时调节时间最短，称为最佳阻
11、尼比。,5.3.3 二阶系统的单位脉冲响应,阻尼系数,时 间 响 应 函 数（t 0）,特点：（1）衰减振荡。（2）随着阻尼比的减小，振荡幅度加大。,例5.3,5.3.4 二阶系统的单位斜坡响应,阻尼系数,时 间 响 应 函 数（t 0）,误差计算：,输入为斜坡函数时, 二阶欠阻尼系统存在稳态误差。,误差计算：,输入为斜坡函数时, 二阶临界阻尼系统存在稳态误差。,误差计算：,输入为斜坡函数时, 二阶过阻尼系统存在稳态误差。,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应5.4 高阶系统的时间响应,5.4.1 高阶系统的单位阶跃响应,一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其
12、瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为,输入为单位阶跃时，其响应函数为,如果其极点互不相同，则上式可展开为,经拉氏反变换，得,可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。极点的性质决定瞬态分量的类型：实数极点非周期瞬态分量共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态：极点位于除原点外的虚轴上 等幅振荡极点位于右半复平面 发散极点位于左半复平面 收敛在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极
13、点与虚轴的距离越大，收敛速度越快。在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决于极点与负实轴的夹角（阻尼），零点也有影响。,例1：已知某高阶系统G(s)的传递函数为,试求该系统的单位阶跃响应。,解：采用MATLAB软件计算,numerator=1 20 100;denominator=1 15 84 223 309 240 100;t=(0:0.1:20);step(numerator,denominator,t);,计算结果显示：,采用MATLAB软件将传递函数改写为零极点形式：,numerator=1 10 100;denominator=1 15 84 223 309 240 100;
14、zpk(tf(numerator,denominator),计算结果显示：,Zero/pole/gain: (s+10)2-(s+5)2 (s+2)2 (s2 + s + 1),例2：将上例高阶系统G(s)的传递函数改写为零极点形式,即,例3：将上例高阶系统G(s)近似为低阶系统G1(s)来进行处理,采用MATLAB软件计算低阶系统G1的单位阶跃响应：,numerator1=4;denominator1=conv(1 4 4,1 1 1);system1=tf(numerator1,denominator1);t=(0:0.1:20);step(system1,r,t);,低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）：,将高阶系统G （用蓝色表示）和低阶系统G1 （用红色表示）的单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似：,5.4.2 主导极点,当部分极点与虚轴的距离远远小于其他极点与虚轴的距离时，称该部分极点为主导极点。主导极点对系统输出的影响较大，而其他非主导极点对系统输出的影响较小，可以忽略不计。,（1）主导极点与非主导极点,时间常数1（主导极点对应的时间常数）,xo(t),近似xo(t),近似前后的单位阶跃响应曲线,在一般情况下，当某些极点与虚轴的距离是其它极点与虚轴距离的45倍及以上时，这些极点可以略去。,
