《8.7(2) 二重积分(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.7(2) 二重积分(2)（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.8二重积分(2)一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分暨南大学珠海学院苏保河主讲第八章多元函数主要内容高等数学1. 二重积分的定义Dyxf d),(iiinif =),(lim10)dd(d yx=2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似 )暨南大学珠海学院苏保河主讲一、利用直角坐标计算二重积分 (复习 )3. 二重积分化为累次积分的方法若积分区域为,)()(,),(21xyyxybxayxD =.d),(dd),()()(21=xyxybaDyyxfxyxf 则若积分区域为,)()(,),(21yxxyxdycyxD =.d),(dd),()()(21=yxyxdcDxy
2、xfyyxf 则暨南大学珠海学院苏保河主讲)(1xyy =)(2xyy =xybaDxy)(1yxx =dc)(2yxx =D计算步骤及注意事项 画出积分域 确定积分序 : 写出积分限 :积分域分块要少累次积分好算图示法 (常用 )不等式 (不常用 )暨南大学珠海学院苏保河主讲注 .如果柱体由暨南大学珠海学院苏保河主讲),(),(21yxfzyxfz =),(1yxf ),(2yxf.dd),(),(12=DyxyxfyxfV所截,给定曲顶柱体;0),( = yxfz底 : xoy面上的闭区域 D;顶 : 连续曲面侧面： 以 D的边界为准线 , 母线平行于 z轴的柱面 ,.dd),(=Dyxy
3、xfV则体积则体积且解：例 .暨南大学珠海学院苏保河主讲1,0,0 =+= yxyx223 yxz =求由平面 所围柱体,被曲面和曲面所截立体的体积 V .22yxz =DyxyxyxV dd)(32222=Dyx dd3=DyxyxfyxfV dd),(),(12体积xy1101=+ yxD.23213 =xyxy注 极坐标sincosryrx=暨南大学珠海学院苏保河主讲=+=xyyxrarctan22),( yxr例 阿基米德螺线:(0)raa= xsincosryrx=暨南大学珠海学院苏保河主讲=+=xyyxrarctan22yxaar =xaya22cosra=xaya2sin2ar
4、=例 圆的极坐标方程：222(1) x y a+ =ra=222(3) ( )x aya +=222(2) ( )x ya a+ =2sinra=2cosra=Dyxyxf dd),( dd rr=Drrf )sin,cos( 二、利用极坐标计算二重积分复习 : 定积分换元积分法= tttfxxfbad)()(d)(暨南大学珠海学院苏保河主讲)(=roDxy.d)sin,cos()()(21 rrrrf设积分域,),()(:21 rDDrrrrf dd)sin,cos(=d特别 , 20)(0:rD对于积分域Drrrrf dd)sin,cos(.d)sin,cos()(0 rrrrf=20d暨
5、南大学珠海学院苏保河主讲D01()r =2()r =xy思考 : 下列各图中域 D分别与 x, y轴相切于原点 , 答 : .0)2( )(=rDoyx)(=rDoyx试问 的变化范围是什么 ?(2)(1);22)1(暨南大学珠海学院苏保河主讲例 1. 计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD +解 :,20,0:arD原式=Darrer0d2are02122= ).1(2ae=2xe的原函数不是初等函数 ,故本题无法用2redd rr=20d由于直角坐标计算 .暨南大学珠海学院苏保河主讲222ayx =+xaar =在极坐标系下例 2. 解 : 自算 .暨南大学珠海学院苏保河主讲将二
6、重积分Dyxyxf dd),(二次积分. 化为极坐标下的.:)1(222221RyxRD +222)(:)2( ayaxD +.d)sin,cos(21RRrrrrf 原式 =解 : 自算 .原式 =cos , sin ,xr yr = =令222)( ayax =+.d)sin,cos(cos20arrrrfxaya2,cos2 ar =xy2R1R,cos2 ar =20d2/2/d222)(:)3( aayxD +2,1,3,:)4( =+=+= yxyxxyxyD例 2.将二重积分Dyxyxf dd),(二次积分. 化为极坐标下的解 : 自算 .原式 =.d)sin,cos(sin20
7、arrrrfcos , sinxr yr = =令 ，222)( aayx =+xaya2 sin2ar =3/4/d原式 =yx3/ =1=+ yx解 : 自算 .,cossin1 += r暨南大学珠海学院苏保河主讲,sin2 ar =1=+ yx.d)sin,cos()cos/(sin2)cos/(sin1+ rrrrf0d4/ =2=+ yx3 =6 =sin4= r+Dyxyx dd)(22sin4sin22d rrr).32(15 =yyx 422=+yyx 222=+03 = yx例 3. 求 其中 D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD+,222yyx =+yyx 422=+
8、03 = xy及直线,03 = yx解：平面闭区域 .03 = xysin2= roxy24=36d暨南大学珠海学院苏保河主讲cosar =ya xo例 4. 将=I解 : 自算=22d),(d0xaxxaxayyxfxI 化为关于极坐标的二次积分 .暨南大学珠海学院苏保河主讲axyx =+22xyao.d)sin,cos(cos0arrrrf22d例 5. 求球体22224 azyx +被圆柱面xayx 222=+)0( a所截得的 (含在柱面内的 )立体的体积 . 解 : 由对称性可知)20(cos2= ar=2/0d4cos2022d4arrrad)sin1(3322/033= a.)3
9、22(3323=aoxyza2=DyxyxaV dd44222暨南大学珠海学院苏保河主讲=DyxyxfyxfV dd),(),(12体积如果柱体由暨南大学珠海学院苏保河主讲),(),(21yxfzyxfz =),(1yxf ),(2yxf.dd),(),(12=DyxyxfyxfV所截,1. 给定曲顶柱体;0),( = yxfz底 : xoy面上的闭区域 D;顶 : 连续曲面侧面： 以 D的边界为准线 , 母线平行于 z轴的柱面 ,.dd),(=DyxyxfV则体积则体积且内容小结12( , ) , ( ) ( )Dr r = =DDrrfyxf )sin,cos(d),( 则.d)sin,c
10、os()()(21 rrrrf2. 利用极坐标计算二重积分dd rr暨南大学珠海学院苏保河主讲若积分区域为=d)(2=rxD)(1=rxy注 2 当积分区域是圆( 5种)或部分圆时,可首先考虑用极坐标.注 1 当积分区域边界由极坐标给出时,可首先考虑用极坐标.暨南大学珠海学院苏保河主讲作业（一定要画积分区域图）暨南大学珠海学院苏保河主讲下次课内容 7.1-3 无穷级数的概念和性质第八章多元函数P362 习题八(A) 28; 29(4,6,7,8);30(3); 31(1).(B) 17; 19; 21.看书 : P360 例 6-8暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲P262, T7(3) 利用
11、计算：12162 1 d 6.xx = =222(3) ( 3) 4 dxxx222(3)4 dxxx22203 4 dxx= 12121d .xx =/2, )tx=(令12121dxx解 易得奇22224d34dxxx xx=暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲P263, T17 设解2 110() d, ()d.xtf xet fxx=求求10()df xx2100dxxe x=21012xe=11(1).2e= 110 0() ()dxf x xf x x=暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲P264, T21(12) 解 图形见下图. 求下列各平面图形的面积 :(1) 抛物线 所围成的图形
12、.21,22xyxy= =+12() ()dbaSfxfxx=为简便计算 , 选取 x作积分变量 :121/21()d22xx x=+9.16=xy(1/2,1/4)(1,1)122xy = +2y x=3xnullnullnullnull2y(3,2)(1,1)122xy = +2y x=暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲P264, T21(12) 解 见下图,有 2 个图形.求下列各平面图形的面积 :12() ()dbaA fy fy y=21(2 1) dy yy=4(2 2);3= (2) 抛物线 与直线 所围成的图形 .21,22xyxy=+ 2y =选取 y作积分变量 :AB3xnu
13、llnullnullnull2y(3,2)(1,1)122xy = +2y x=暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲P264, T21(12) 解 图形见下图.求下列各平面图形的面积 :12() ()dbaBfyfyyS= 202dy yS= 82 9.316= (2) 抛物线 与直线 所围成的图形 .21,22xyxy= =+ 2y =S 选取 x 作积分变量 :BAS暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲P264, T25(2) 求下列平面图形分别绕 x 轴与 y 轴旋转所产生的旋转体的体积 .解 所求体积：sin (0 ), , 022yxx xy =(2) 曲线 所围成的图形 .yo /2xsiny x=/220dxVyx=/220sin dx x=2122 4 = = ；yV12201d2x y=（）3120arcsin d4y y=3112002arcsinarcsin 2 d41yy yyy= +2.=1200 2 arcsin d 1y y=
