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1、3.16 直线的方向向量与平面的法向量一、教学目标：1理解直线的方向向量和平面的法向量；2会用待定系数法求平面的法向量。教学重点：直线的方向向量和平面的法向量教学难点：求平面的法向量二、教学过程（一） 、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？（二） 、建构数学1、直线的方向向量我们把直线 上的向量 以及与 共线的向量叫做直线 的方向向量。lel2、平面的法向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记n作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。nn3
2、、 （坐标系中平面的法向量）求法步骤：在适当坐标系下，设法向量为 ；),(zyx求出平面内两个不共线向量的坐标，； ，),(1cba,22cba由定义建立方程组： 且0n0n解方程组，取其中一个解得法向量为 。),(zyx4、用向量证明空间空间平行的方法。线面平行：记 l 的方向向量为 ， 的法向量为 ，则要证 ，只要 ，anlna即 （又分基向量法和坐标向量法两种） 。0na面面平行：求出平面 、 的法向量 、 ，证明 / 。uv（三） 、数学运用例 1 已知平面 经过三点 ， ，)3,21(OA)1,02(B，求平面 的一个法向量。)0,23(OC解： ， ，记法向量为 ，4,AB,4C)
3、,(zyxn则 且 解得：0zyx zyx，平面 的一个法向量为 。zyx且 )0,12(n例 2 在正方体 中，11DCBA求证： 是平面 的法向量.1D证：设正方体棱长为 1，以 为单位正交基底，1,CA建立如图所示空间坐标系 xyzD， ，),(1DB)0,1(A， ，所以0ACBACDB1同理 ，所以 平面111从而 是平面 的法向量。1D例 3 如图正方体中，M 为 BD 中点，求证： /平面1MD1证明：建系，设边长为 1，则： ，),0(1BC， ,2(1MD)0,(C设平面 的法向量为 ，1 ),(zyxn则 ，02zyx 021令 x=1 解得：y=1,z=-1。又 , /平
4、面1nBC1BCCMD1练习：（江西 2007 高考题）C1MA BCDA1D1B1GA1 C1B1CABC1MA BCDA1D1B1CB1D1 C1A1A BD如图是一个直三棱柱被一平面截取得到的几何体，截面为 ABC，G 为 AB中点；已知： ， ，11CBA901A， ，4123求证： 。1/OG平 面证明：以 B1 为原点， 为 X 轴， 为 Y 轴，建系。11则 ， ， ，又 G 是 AB 中点，)4,0(A)2,(B)3,0(C有 ， ，,2,易知 是平面 的法向量；)1,0(n1A因为， ，GC 不在平面 ，GC1CB所以， 。1/O平 面例 4 在如上图底面为菱形的的四棱锥中，
5、 ， 平面60APABC， ， ，点 E 在 上，且 ，2AP2PDD1:2:E求证： 平面 。/BFEC证明：以 A 为原点，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴建系；， ， ， ，)0,()0,13()0,13(),2(D2,P， ，)3,40(E)32,40(AE)0,13(AC设平面 ACE 的法向量为 ，则： 且),(zyxnyx0324z令 有 ， ，1y32),13(nFB CA DPE 又 ，)1,23(OBF0231BFn因此， 平面/AEC例 5 在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为),(0zyxP， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。),(CB
6、Ae),(zyxM,解：由题意可得 ),(000zyxP，即0 0),()0 zyxCBA化简得 )()( 00zx(四)、课堂练习已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ，PD(2,14)AB， 奎 屯王 新 敞新 疆4,20)AD(1,2)A（1）求证： 是平面 的法向量；（2）求平行四边形 的面BCCD积（1）证明： ，(1,)(,14)0P，2AD ， ，又 ，BABD平面 ， 是平面 的法向量PCPC（2） ，222|()1)(4)1A， ，|405D(2,4)(,20)6ABD ， ，63cos(,)121B 93sin15 |sin86ACDSA (五)、回顾小结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量方法；3、证明空间平行的方法.(六)、布置作业
