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1、 学科知识供应商 - 1 - 绝密 启封并使用完毕前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） （北京卷） 本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1）已知 UR ，集合 | 2 2A x x x 或 ，则 UA （ A） ( 2,2) （ B） ( , 2) (2, ) （ C） 2,2 （ D） ( , 2 2, ) 【答案】 C 【解析】
2、 因为2A x x 或 2x ，所以 22UC A x x ，故选 C. 【题型】选择题 【难度】一般 （ 2）若复数 (1 i)( i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 （ A） ( ,1) （ B） ( , 1) （ C） (1, ) （ D） ( 1, ) 【答案】 B 【解析】 1 1 1z i a i a a i ，因为对应的点在第二象限，所以1010a a ，解得： 1a ，故选 B. 【题型】选择题 【难度】一般 （ 3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 学科知识供应商 - 2 - （ A） 2 （ B） 32 （ C） 53 （ D） 85 【答
3、案】 C 【题型】选择题 【难度】一般 （ 4）若 ,xy满足3,2,xxyyx则 2xy 的最大值为 （ A） 1 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 9 【答案】 D 【解析】 如图，画出可行域， 学科知识供应商 - 3 - 2z x y 表示斜率为 12 的一组平行线，当过点 3,3C 时，目标函数取得最大值max 3 2 3 9z ，故选 D. 【题型】选 择题 【难度】一般 （ 5）已知函数 1( ) 3 ( )3xxfx ，则 ()fx （ A）是偶函数，且在 R 上是增函数 （ B）是奇函数，且在 R 上是增函数 （ C）是偶函数，且在 R 上是减函数 （ D）是奇函数，且在
4、R 上是增函数 【答案】 B 【解析】 113333xxxxf x f x ，所以函数是奇函数，并且 3x 是增函数， 13x是减函数， 根据增函数 -减函数 =增函数，所以函数是增函数，故选 A. 【题型】选择题 【难度】一般 （ 6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 学科知识供应商 - 4 - （ A） 60 （ B） 30 （ C） 20 （ D） 10 【答案】 D 【解析】 该几何体是三棱锥，如图： 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是 11 5 3 4 1 032V ，故选 D. 【题型】选择题 【难度】一般 （ 7）设 m, n为非零向量，则 “存在负
5、数 ，使得 m=n”是 “mnbc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 _ 【答案】 -1， -2， -3 【解析】 1 2 3 , 1 ( 2 ) 3 学科知识供应商 - 7 - 【题型】填空题 【难度】一般 （ 14）某学习小组由学生和 KS5U&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ ）男学生人数多于女学生人数； （ ）女学生人数多于教师人数； （ ）教师人数的两倍多于男学生人数学 &科网 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 _ 该小组人数的最小值为 _ 【答案】 6,12 【解析】 设 男生数，女生 数 ，教师数为 ,abc ， 则 2 , , ,c
6、a b c a b c N 第一 小问： m a x8 4 6a b b 第二 小问： m i n 3 , 6 3 5 , 4 1 2 .c a b a b a b c 【题型】填空题 【难度】一般 三、解答题共 6小题，共 80分 。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题 13 分） 已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5 （ ）求 na 的通项公式； （ ）求和： 1 3 5 2 1nb b b b 【答案】（ ） 21nan ；（ ） 312n . 【解析】 （ I）设公差为 d ， 10311 dd ,所以
7、2d ，所以 12)1(1 ndnaan . （）设 nb 的公比为 q ， 2b .4b =5a 93qq ，所以 32q 所以 2-1nb 是以 11b 为首项， 321 qq 为公比的等比数列， 学科知识供应商 - 8 - 所以 1-2531 nbbbb 2 1331 )31(1 nn . 【题型】解答题 【难度】一般 （ 16）（本小题 13 分） 已知函数 ( ) 3 c o s( 2 ) 2 sin c o s3f x x - x x. （ I） f(x)的最小正周期； （ II）求证：当 , 44x 时， 12fx 【答案】（ ） ；（ ）详见解析 . 【题型】解答题 【难度】一
8、般 （ 17）（本小题 13 分） 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： 20,30）， 30,40）， ，80,90，并整理得到如下频率分布直方图： （ ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； 学科知识供应商 - 9 - （ ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 40,50）内的人数； （ ）已知样本中有一半男生的分数 KS5U 不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的
9、比例 【答案】（ ） 0.4；（ ） 5 人；（ ） 32 . 【题型】解答题 【难度】一般 （ 18）（本小题 14 分） 如图，在三棱锥 PABC 中， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 （ ）求证： PA BD； （ ）求证：平面 BDE 平面 PAC； （ ）当 PA 平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD的体积 【答案】详见解析 【解析】证明：（ ） ,PA AB PA BC， AB 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，且 AB BC B ， PA平面 ABC ， BD 平面 ABC , PA B
10、D ； （ ） AB BC ， D 是 AC 的中点， 学科知识供应商 - 10 - BD AC, 由（ ）知 PA 平面 ABC ， PA 平面 PAC ， 平面 PAC 平面 ABC ， 平面 PAC 平面 ABC AC ， BD 平面 ABC , BD AC ， BD平面 PAC ， BD 平面 BDE , 平面 BDE 平面 PAC , （ ） /PA 平面 BDE ， 又 DE 平面 BDE 平面 PAC , PA 平面 PAC ， /PA DE D 是 AC 中点， E 为 PC 的中点， 1DE D 是 AC 的中点， 1 1 1 2 2 12 2 2B D E A B CSS
11、, 1 1 11 1 13 3 3E B C DV D E 【题型】解答题 【难度】一般 （ 19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0)， B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 32 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M， N，过 D 作 AM的垂线交 BN 于点 E.求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 4:5 【答案】（ ） 2 2 14x y ；（ ）详见解析 . 【解析】 （ ） 焦点在 x 轴上， 2a ， 32ce a 3c 学科知识供应商 - 11 - 2 2 2 1b a c 2 2 14x y ； （ 2）设 0 0 0 0 0, 0 , , , ,D x M x y N x y ， 直线 AM 的方程是 00 22yyxx ， DE AM ， 002DE xk y ， 直线 DE 的方程是 000 2xy x xy ，直线 BN 的方程是 00 22yyxx ， 直线 BN 与 DE 直线联立
