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1、 学科知识供应商 - 1 - 绝密 启封并使用完毕前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文) (北京卷) 本试卷共 5 页, 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 ( 1)已知 UR ,集合 | 2 2A x x x 或 ,则 UA ( A) ( 2,2) ( B) ( , 2) (2, ) ( C) 2,2 ( D) ( , 2 2, ) 【答案】 C 【解析】
2、 因为2A x x 或 2x ,所以 22UC A x x ,故选 C. 【题型】选择题 【难度】一般 ( 2)若复数 (1 i)( i)a在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是 ( A) ( ,1) ( B) ( , 1) ( C) (1, ) ( D) ( 1, ) 【答案】 B 【解析】 1 1 1z i a i a a i ,因为对应的点在第二象限,所以1010a a ,解得: 1a ,故选 B. 【题型】选择题 【难度】一般 ( 3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 学科知识供应商 - 2 - ( A) 2 ( B) 32 ( C) 53 ( D) 85 【答
3、案】 C 【题型】选择题 【难度】一般 ( 4)若 ,xy满足3,2,xxyyx则 2xy 的最大值为 ( A) 1 ( B) 3 ( C) 5 ( D) 9 【答案】 D 【解析】 如图,画出可行域, 学科知识供应商 - 3 - 2z x y 表示斜率为 12 的一组平行线,当过点 3,3C 时,目标函数取得最大值max 3 2 3 9z ,故选 D. 【题型】选 择题 【难度】一般 ( 5)已知函数 1( ) 3 ( )3xxfx ,则 ()fx ( A)是偶函数,且在 R 上是增函数 ( B)是奇函数,且在 R 上是增函数 ( C)是偶函数,且在 R 上是减函数 ( D)是奇函数,且在
4、R 上是增函数 【答案】 B 【解析】 113333xxxxf x f x ,所以函数是奇函数,并且 3x 是增函数, 13x是减函数, 根据增函数 -减函数 =增函数,所以函数是增函数,故选 A. 【题型】选择题 【难度】一般 ( 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 学科知识供应商 - 4 - ( A) 60 ( B) 30 ( C) 20 ( D) 10 【答案】 D 【解析】 该几何体是三棱锥,如图: 图中红色线围成的几何体为所求几何体,该几何体的体积是 11 5 3 4 1 032V ,故选 D. 【题型】选择题 【难度】一般 ( 7)设 m, n为非零向量,则 “存在负
5、数 ,使得 m=n”是 “mnbc,则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 _ 【答案】 -1, -2, -3 【解析】 1 2 3 , 1 ( 2 ) 3 学科知识供应商 - 7 - 【题型】填空题 【难度】一般 ( 14)某学习小组由学生和 KS5U&教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ( )男学生人数多于女学生人数; ( )女学生人数多于教师人数; ( )教师人数的两倍多于男学生人数学 &科网 若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为 _ 该小组人数的最小值为 _ 【答案】 6,12 【解析】 设 男生数,女生 数 ,教师数为 ,abc , 则 2 , , ,c
6、a b c a b c N 第一 小问: m a x8 4 6a b b 第二 小问: m i n 3 , 6 3 5 , 4 1 2 .c a b a b a b c 【题型】填空题 【难度】一般 三、解答题共 6小题,共 80分 。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 ( 15)(本小题 13 分) 已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5 ( )求 na 的通项公式; ( )求和: 1 3 5 2 1nb b b b 【答案】( ) 21nan ;( ) 312n . 【解析】 ( I)设公差为 d , 10311 dd ,所以
7、2d ,所以 12)1(1 ndnaan . ()设 nb 的公比为 q , 2b .4b =5a 93qq ,所以 32q 所以 2-1nb 是以 11b 为首项, 321 qq 为公比的等比数列, 学科知识供应商 - 8 - 所以 1-2531 nbbbb 2 1331 )31(1 nn . 【题型】解答题 【难度】一般 ( 16)(本小题 13 分) 已知函数 ( ) 3 c o s( 2 ) 2 sin c o s3f x x - x x. ( I) f(x)的最小正周期; ( II)求证:当 , 44x 时, 12fx 【答案】( ) ;( )详见解析 . 【题型】解答题 【难度】一
8、般 ( 17)(本小题 13 分) 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生,记录他们的分数,将数据分成 7 组: 20,30), 30,40), ,80,90,并整理得到如下频率分布直方图: ( )从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率; 学科知识供应商 - 9 - ( )已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间 40,50)内的人数; ( )已知样本中有一半男生的分数 KS5U 不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的
9、比例 【答案】( ) 0.4;( ) 5 人;( ) 32 . 【题型】解答题 【难度】一般 ( 18)(本小题 14 分) 如图,在三棱锥 PABC 中, PA AB, PA BC, AB BC, PA=AB=BC=2, D 为线段 AC 的中点, E 为线段 PC 上一点 ( )求证: PA BD; ( )求证:平面 BDE 平面 PAC; ( )当 PA 平面 BDE 时,求三棱锥 EBCD的体积 【答案】详见解析 【解析】证明:( ) ,PA AB PA BC, AB 平面 ABC , BC 平面 ABC ,且 AB BC B , PA平面 ABC , BD 平面 ABC , PA B
10、D ; ( ) AB BC , D 是 AC 的中点, 学科知识供应商 - 10 - BD AC, 由( )知 PA 平面 ABC , PA 平面 PAC , 平面 PAC 平面 ABC , 平面 PAC 平面 ABC AC , BD 平面 ABC , BD AC , BD平面 PAC , BD 平面 BDE , 平面 BDE 平面 PAC , ( ) /PA 平面 BDE , 又 DE 平面 BDE 平面 PAC , PA 平面 PAC , /PA DE D 是 AC 中点, E 为 PC 的中点, 1DE D 是 AC 的中点, 1 1 1 2 2 12 2 2B D E A B CSS
11、, 1 1 11 1 13 3 3E B C DV D E 【题型】解答题 【难度】一般 ( 19)(本小题 14 分) 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0), B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 32 ( )求椭圆 C 的方程; ( )点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M, N,过 D 作 AM的垂线交 BN 于点 E.求证: BDE 与 BDN 的面积之比为 4:5 【答案】( ) 2 2 14x y ;( )详见解析 . 【解析】 ( ) 焦点在 x 轴上, 2a , 32ce a 3c 学科知识供应商 - 11 - 2 2 2 1b a c 2 2 14x y ; ( 2)设 0 0 0 0 0, 0 , , , ,D x M x y N x y , 直线 AM 的方程是 00 22yyxx , DE AM , 002DE xk y , 直线 DE 的方程是 000 2xy x xy ,直线 BN 的方程是 00 22yyxx , 直线 BN 与 DE 直线联立