广西2017届高三上学期教育质量诊断性联合考试理数试题 含答案_5

2016 年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合 的真子集的是（ ）2|AxA． B． C． D． 2,5(6,)(0,5)(1,5)2.复数 的实部与虚部分别为（ ）37izA． ， B． ， C． , D． , 73i7373i3.设 ， ， ，则（ ）2log5a2l6b129cA． B． C． D．cacababc4.设向量 ， ， ，若 （ ） ，则 的值为（ (1,)(3,5)(4,)xRx）A． B． C． D．21229295.已知 ，则 等于（ ）tan3sinco3A． B． C． D． 156326.设 ， 满足约束条件 则 的最大值为（ ）xy270,,xyyxA． B． C． D．0 322137.将函数 的图象向左平移 个单位后，得到 的图象，则（ ）cos()3yx6()fxA． B． 的图象关于 对称()infx()f3C． D． 的图象关于 对称 7132x(,0)128.执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 等于（ ）2x4nsA．94 B．99 C．45 D．203 9.直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 、 两点，2yb21(0,)xyabBC为右顶点， 为坐标原点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）OAOBA． B． C． D．1023215219210.2015 年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》 ．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在 ， ， ， ， 的爱看比例分别为 ， ，10,45,920,45,2930,410%8， ， ．现用这 5 个年龄段的中间值 代表年龄段，如 12 代表 ，2%3t x,4代表 ，根据前四个数据求得 关于爱看比例 的线性回归方程为7, y，由此可推测 的值为（ ）(4.68)ykxtA． B． C． D． 335373911.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B． C． D． 168332816816312.已知定义在 上的偶函数 在 上递减，若不等式R()fx[0,)对 恒成立，则实数 的取值范围为（ (ln1)(ln12(faxfaf,3xa）A． B． C． D． (2,)e[,)e1,e12ln3,e第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为 ．7(1)x2x14.已知曲线 由抛物线 及其准线组成，则曲线 与圆 的交点C8yC2(3)16xy的个数为 ．15.若体积为 4 的长方体的一个面的面积为 1，且这个长方体 8 个顶点都在球 的球面上，O则球 表面积的最小值为 ．O16.我国南宋著名数学家秦九昭在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何． ”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 13 里，14 里，15 里，假设1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为 平方千米．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）某体育场一角的看台共有 20 排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有 2 个座位，从第二排起每一排比前一排多 1 个座位，记 表示第 排的座位数．na（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列 的前 项和 ，求 的值．2na020S202logl18. （本小题满分 12 分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为 ， ， ，每道程序是相互独立的，且一旦审核2534不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有 3 部该智能手机进入审核，记这 3 部手机可以出厂销售的部数为 ，求 的分X布列及数学期望．19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形，1ABC1AC1BC， ．116023（1）求证： ；1ABC（2）若 ， 的中点为 ，求二面角 的余弦值．3211D1CABD20. （本小题满分 12 分）如图， ， 为椭圆 ： 的左、右焦点， ， 是椭圆的两个顶1F2C2(0)xyabE点， ， ，若点 在椭圆 上，则点 称为点12||3|5DE0,MxyC0(,)xyNab的一个“椭点” ．直线 与椭圆交于 ， 两点， ， 两点的“椭点”分别为 ，MlABP，已知以 为直径的圆经过坐标原点．QP（1）求椭圆 的标准方程；C（2）试探讨 的面积 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明AOBS理由．21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， ，其中 ， 为常数．21()4fxa()gxfba（1）若 是函数 的一个极值点，求曲线 在点 处的切线方yf ()yfx1,()f程；（2）若函数 有 2 个零点， 有 6 个零点，求 的取值范围．()fx()fgxab请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以 为极点， 轴的非负xOyC22(3)(1)9xyOx半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 ： （ ）与圆 交于点 、 ，求线段 的长．P6RMN23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ， 为不等式 的解集．()|2|1|fxx()0fx（1）求 ；M（2）求证：当 ， 时， ．y||15y2016 年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：DACBABDAD二、填空题13. 14. 15. 16.2121418三、解答题17.解：（1）由题可知数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，na∴ （ ） ．21na0∴此看台的座位数为 ．(2)3（2）∵ ，1202031S…∴ ，∴ ，23202121212044∴ ，1S∴ ．21202logllog18.解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件 ，A则 ．54()()38PA（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为 ．25413由题意可得 可取 ， ， ， ，则有X012， ，3()(8P123()()8PXC， ，23)2C31所以 的分布列为：X0 1 2 3P8381故 （或 ） ．()22EX219.（1）证明：连接 ， ，则 和 皆为正三角形．1ACB1AC1B取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，从而 平面 ，COO11C1OAB．1B（2）解：由（1）知， ，又 满足 ，13AB12A221AB所以 ， 平面 ．1OAC如图所示，分别以 ， ， 为正方向建立空间直角坐标系，1O则 ，(0,3)C， ， ， ， ，1,B(,A1(0,3)C1(0,23)A13(0,)2D设平面 的法向量为 ，因为 ， ，1,mxyz1,B(,3)AC所以 取 ．30,xzy(1,3)设平面 的法向量为 ，因为 ， ，1ABDn13(0,)2AD13(,)2BD同理可取 ．(3,)n则 ，因为二面角 为钝角，3105cos,||7m 1CA所以二面角 的余弦值为 ．1CABD3520.解：（1）由题可知 解得 故椭圆 的标准方程222,,abc24,1abC为 ．24xy（2）设 ， ，则 ， ．1(,)A2(,)Bxy1(,)xPy2(,)xQy由 ，即 ． （*）OPQ1204xy①当直线 的斜率不存在时， ；AB12|||12Sxy②当直线 的斜率存在时，设其直线为 （ ） ，km0联立 得 ，2,4ykxm22(1)84kx则 ， ，2216()k21k同理 ，代入（*） ，整理得 ．214my2241m此时 ， ， ，∴ ．2602212||||kABkx2|1hk1S综上， 的面积为定值 1．C21.解：（1）∵ ，∴ ，∴ ，即 ．()yxf34ax2'yxa02a又 ，∴ ，∵ ，2'()8fx'7()57f∴所求切线方程为 ，即 ．(1yx14yx（2）若函数 存在 2 个零点，则方程 有 2 个不同的实根，()fx2a设 ，则 ，令 ，得 ；21()4h2'()8hx3'()0hx12令 ，得 ， ，∴ 的极小值为 ．　'0x10()∵ ，∴由 的图象可知 ．1()32h()hx3a∵ ，∴令 ，得 或 ，即 或()fg1()2gx()1()2fxb，()1fxb而 有 6 个零点，故方程 与 都有三个不同的解，g()fxb()1fxb∴ 且 ，∴ ，∴ ． 021b2a22.解：（1） 可化为 ，22(3)()9xy350xyxy故其极坐标方程为 ．23cos2in50（2）将 代入 ，得 ，6 250∴ ， ，12125∴ ．212|||()46MN23.解：（1）3,,()12,.xfx当 时，由 ，得 ，舍去；2x303当 时，由 ，得 ，即 ；11x1x132x当 时，由 ，得 ，即 ．2x2综上， ．(,3)M（2）因为 ， ，∴ ， ，xy|3x|y所以 ．||||||||||xyx315