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1、第十一章无穷级数一、学时分配：讲课学时：14 学时.习题课学时：2 学时.共 16 课时.二、基本内容：无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式内容提要如下：1.数项级数（1）级数及有关概念（收敛、发散、和、余项、绝对收敛、条件收敛） ；（2）级数收敛与发散的基本性质；（3）审敛法：收敛与发散的定义审敛；依收敛与发散的基本性质审敛；正项级数的比较、比值及根值审敛法；交错级数的莱布尼兹判别法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛审敛法.2.函数项级数（1）幂
2、级数：幂级数的概念；幂级数的收敛半径与收敛区间；幂级数的运算性质；求幂级数的和函数及函数展开为幂级数（泰勒级数） ；幂级数的应用、欧拉公式.（2）傅里叶级数：傅里叶级数的概念；三角函数的正交性、收敛定理；将周期为 的函数展开成傅里叶级数；将 上的函数展成正弦级数和余弦级数；将周期0,l为 的函数展开成傅里叶级数.l三、教学要求：1.理解无穷级数收敛、发散及和的概念，掌握无穷级数的基本性质；2.掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法及根值审敛法.掌握交错级数的莱布尼兹审敛法.理解绝对收敛与条件收敛的概念；3.掌握幂级数的收敛半径与收敛区间的求法，掌握幂级数的加减运算及逐项积分运算并会利用这些运算求
3、一些简单的幂级数的和函数；4.掌握一些常见的泰勒级数展开式（麦克劳林公式） ，并会运用这些展开式将一些简单函数展开成幂级数；5.了解函数展开为傅里叶级数的充分条件，掌握将以 为周期的周期函数展开为傅2里叶级数的方法，掌握将周期为 的周期函数展开成傅里叶级数的方法.2l四、重点难点：1.级数收敛与发散概念；用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题.2.正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念任意项级数收敛性的判别方法.3.幂级数收敛域的求法，幂级数的运算.幂级数收敛半径和收敛区间的求法，利用幂级数的运算性质求和函数4.泰勒级数,函数展开成幂
4、级数.函数展开成幂级数的间接方法.5.利用函数的幂级数的展开式进行近似计算.近似计算中的误差估计.6.了解傅立叶级数的概念和狄立克雷收敛定理.如何将函数展开为傅立叶级数.7.周期为 周期函数的傅立叶级数，将周期为 周期函数展开为傅立叶级数.2l 2l第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握常数项级数的基本性质及收敛的必要条件.教学重点：级数收敛与发散概念.教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性.教学内容：一、常数项级数的概念引例：圆的面积的近似值的计算.圆内正多边形的面积作为圆的面积的近似值：正六边形、十二边形、二十四边形 的面
5、积依次是.12123,AaAa 123nAaa1.常数项级数的概念设已给数列 ： ，则由这个数列构成的表达式nu,nu321称为（常数项）无穷级数，简称级数，记为 .即1n1nu u321其中 叫做级数的通项或一般项各项都是常数的级数叫做数项级数，如 ， 等1!n1)(n各项是函数的级数，称为函数项级数，如 ， 等2xsinx2.部分和数列作常数项级数的前 项的和 ， 称为级数的部分和从而nnnuuS321S得到一个新的序列：， ， ，1uS212u,3 ,321nu3.级数收敛与发散的概念定义如果级数 的部分和数列 有极限 ，即 ，则称级数1n nSSnlim收敛，这时极限 叫做这级数的和，
6、记为1nuSun1如果 没有极限，则称级数 发散n1n此时称 叫做级数的余项.也是级数第 项以后的余项nr4.级数与数列极限的关系级数 与部分和数列 同时收敛或同时发散，且在收敛时有1nunS ，即 .1nlimn11linniu例 1证明等比级数（几何级数） 当 时收)0(12aqaqn 1q敛，当 时发散q证明当 时其前 项和1qn qaqaqSnnn 12若 ，则 ，于是 ，即当 时等比级0limn nn1limli 数收敛，且其和为 当 ，则 时， 是无穷大量，级qa11qnS数发散若 ，则级数成为 ，于是 ，级数发散qnnaSli,若 ，则级数成为 ，当 为奇数时， ，而当 为偶数a
7、a时， 当 时， 无极限，所以级数也发散0nSnS例 2判定无穷级数 的收敛性.1()解由于 ，所以nun，11312)1(321 nnSn 当 时， 即 ，所以级数收敛. 和为 1.nn课内练习P192T1.T2.二、收敛级数的基本性质由级数收敛性定义，可得下面性质：性质 1若级数 收敛，其和为 ，又 为常数，则 也收敛，且1nuSk1nku11nnku（级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变 ）证略.性质 2若已知二收敛 ，则 .11,nnvsusvunn1)(（两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减）性质 3改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性性质 4收敛级数中的各项（按其
8、原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛，而且其和不变推论一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散注：加括号后的数列收敛，原数列不一定收敛.例如， 收敛于零，但级数1)(n发散11性质 5（级数收敛的必要条件)若级数 收敛，则1nu0limnu证设 ，即 ，则 ，所以Sun1SnlimSli0limli)(limli 11 SSSunnnnn特别注意：性质 5 仅是级数收敛的必要条件而不是充分条件推论 若级数 的通项 ，当 时不趋于零，则此级数必发散1nnu注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，比如调和级数 ,1321 n它的一般项 ，但是它是发
9、散的可用反证法证明.另外，也可证明如)(0nun下.例 3证明：调和级数 虽有 ，但是它是发散的.1nlim0n证 我们利用定积分的几何意义加以证明. 调和级数部分和 ，考察曲线 和 所围成的曲边梯形的1nkS,1yxn0y面积 与阴影表示的阶梯形面积 之间的关系，第一个矩形面积 =1，第二个矩形面积nA1A，第三个矩形面积 ，第 个矩形面积 ，所以阴影部分的总21A3 n面积为1 121n nk k ，111ll()nnnkAdx而 ，表明 的极限不存在，所以该级数发散.lim()nnA三、柯西审敛原理因为级数 的敛散性与它的部分和数列 sn的敛散性是等价的故由数列的柯西1nu审敛原理可得下
10、面的定理.定理柯西( Cauchy)审敛原理 级数 收敛的充分必要条件为： 总存在1nu0自然数 N，使得当 nN 时对于任意的自然数 p，都有12nu成立.证 设级数 的部分和为 sn,1n因为 2npnuus所以,由数列的柯西审敛原理,即得本定理结论.启发与讨论1. 1135(2)n 证 明 级 数 收 敛 ， 并 求 其 和 1()2nun解 由 于 ）11352()1 ()()221 nsnn lim.s从 而 所 以 该 级 数 收 敛 ， 它 的 和 为2. 1n n nkSk2 1342312级数发散3. n31232132级数为 ，分别为等比级数且111nnn 31,2q原级数
11、收敛4. n33原级数发散nu0)(小结与思考：本节主要是学习了级数的概念，并根据级数的定义及其性质判别级数的敛散性了解了收敛级数的性质.思考：级数收敛的必要条件所起的作用是什么?作业：见作业卡第二节常数项级数的审敛法教学目的：通过教学使学生掌握常数项级数的审敛法（各种收敛判别法）.了解绝对收敛与条件收敛的概念.教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念教学难点：任意项级数收敛性的判别方法教学内容：一、正项级数及其审敛法1.正项级数：每项均为非负的级数称为正项级数设级数 是一个正项级数 ，它的部分和数列 显 nuu321 )0(nunS
12、然是一个单调增加数列： ，从而有 nSS3212.正项级数收敛的充要条件定理 1正项级数 收敛 它的部分和数列 有界1nun推论：如果正项级数 发散，则它的部分和数列 S)(n3.正项级数的审敛法（1）比较审敛法定理 2（比较审敛法）设 和 都是正项级数，且 （ ）.1nu1nvnuv1,2若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若 发散，则 发散.1nvn1nu1n证设 收敛于 ，则级数 的部分和n1n.123123nsuvv 即部分和数列有界，故由定理 1 知级数 收敛.nu反之，设级数 发散，则 必发散，否则，就与上面的结论矛盾.1n1nv推论设 和 都是正项级数，如果级数 收敛，且存在自然数
13、 N，使得nun 1nvnN 时有 成立，则级数 收敛；如果级数)0(kv1nu发散，且当 nN 时有 成立，则 发1n )0(kvun 1n散课内练习例 1 证明调和级数 是发散的 312证明 由微分学可证得一个不等式 ，当)1ln(x时， （如图示）0x由 nnSn 1l3l2l1l312 )()l(4lnl4ll n即 ，所以调和级数发散1n例 2讨论 级数 的收敛性，其中常数p ppn1321 0py xO )1ln(xyxy图 11-2-1解设 ，则 ，但调和级数发散，由定理 2 可知，当 时级数1pnp 1p发散1n设 ，当 时，有 ，px1pxn1所以 nn pppp nd11
14、1)( ),32(考虑级数 其部分和*)(2np )(1)(1)(1311 nnnS ppppp故级数（*）收敛，由定理 2 知，级数 当 时收敛，综上所述，有如下结论：1n对 级数，当 时收敛，当 时发散定理 3（比较法的极限形式）设 和 都是正项级数，如果1nu1nv（1） ，且级数 收敛，则级数 收敛)0(,limlvun 1nu（2） 且级数 发散，则级数 发散，或nvi1nvn证明（1） 由极限定义可知，对于 ， ，使当 时，有 ，即N,1lvn，再由比较审敛法可得级数 收敛nnvlu)(1nu（2）按已知条件可知极限 存在，如果级数 收敛，则由结论(1)必有级数nvlim1n收敛，但已知级数 发散，因此级数 不可能收敛，即级数 发散1nv1nu1nu例 3 判别级数 的收敛性si解 1limn由定理 3 知此级数发散4.比值审敛法（达朗贝尔（DAlembert）判别法）定理 4（比值审敛法
