第六章++多元函数微分学

第六章 多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲) 内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设 D 是平面上的一个点集，如果对每个点 P(x,y)∈D，按照某一对应规则 f，变量 z 都有一个值与之对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数，记以z=f（x，y） ，D 称为定义域。二元函数 z=f（ x，y）的图形为空间一块曲面，它在 xy 平面上的投影域就是定义域D。例如 二元函数的图形为以原点为球心，半1:,122yxDz径为 1 的上半球面，其定义域 D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为 1 的闭圆。2．三元函数与 n 元函数空间一个点集，称为三元函数),(),(zyxzyxfu。n元 函 数称 为21它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限设 的邻域内有定义，如果对任意 只要),(),(0yxf在 点 ,0存 在。Ayxfx),(,220就 有则记以 Ayfyx lim),(lim)(),00或称当 的极限存在，极限值为 A。否则，称为极限不存,,0yx。f时趋 于在。值得注意： 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋),(),(0yx趋 于这 里于 ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概),(0yx念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若 处 连 续在 点则 称 ),(),(),(),(lim000 yxfyxffxy若 内每一点皆连续，则称 在 D 内连续。Df在 区 域, ,f2．闭区域上连续函数的性质定理 1 （有界性定理）设 在闭区域 D 上连续，则 在 D 上一定有界),(yxf ),(yxf定理 2 （最大值最小值定理）设 在闭区域 D 上连续，则 在 D 上一定, ,有最大值和最小值 (,)(,)ma,)(min,)()xyxyDfMf最 大 值 最 小 值定理 3 （介值定理）设 在闭区域 D 上连续，M 为最大值，m 为最小值，若,yx则存在,Mc使 得),(0yxCf),(0（乙） 典型例题一、求二元函数的定义域例 1 求函数 的定义域xyz3arcsin解：要求 ;x即又要求 综合上0,,0yxyy或即述要求得定义域或 3yx3y例 2 求函数 的 定 义 域)12ln(42xz解：要求 002yyx和即 21函数定义域 D 在圆 的内部（包括边22yx界）和抛物线 的左侧（不包括抛物线上的点）y2二、有关二元复合函数例 1 设 ),(,),(2yxfyxxf 求解： 设 解出vyxu, )(21),(vuyvx代入所给函数化简 22481),(uf故 2)(81),( yxyxf例 2 设 ,,53f求解： )2(532 xyxyxy),(2xyf例 3 设 zfx。zyfz 和求 函 数时当 ,1),(解： 由条件可知221(),,()(1)xfxufuu令 则12yz三、有关二元函数的极限例 1 讨论 )0()1(lim2常 数axyayx解：原式=)(2(liyxayx 而 etttxyayx  )1(li1li令又 axyxx ayay )1(lim)(li21ae原 式例 2 讨论 240liyxy解：沿 原式l02430ixlx 沿42220,lim1xlylxl原 式原 式 的 极 限 不 存 在例 3 讨论 2430liyxy解： )0(2yx21234320yx而 0lim;21li00 xx yy用夹逼定理可知 原式=0§6.2 偏导数与全微分（甲） 内容要点一、偏导数与全微分的概念1．偏导数二元：设 ),(yxfzxyffxx ),(),(lim0fyfyfz ,,li),(0三元：设 ,xfu ),();,();,( zyxfzuyxfuzyfx 2．二元函数的二阶偏导数设 ),(fz， )(,2xzyxf )(),(2xzyxfy， )(),(fzyx )(),(2fy3．全微分设 增量),(yxfz ),(),(yxfyxfz若 )22oBA当 时0yx则称 可微，而全微分),(fzyBxAdz定义： yxd定理：可微情况下， ),(),(yxfxfAdyyfzx),(三元函数 ,zu全微分 dzyxfzyxfyxfdz),(),()( 4．相互关系连续 存在 (,)xyf (,)f(,)(,)xyff存 在连 续5．方向导数与梯度二、复合函数微分法——锁链公式模型 I. 设 (,)(,)(,)zfuvxyv则 ； xzuzvy模型 II. 设 (,)(,)fy则 ， xzufyzuf模型 III. 设 (,)(),fyx则 xyzdudff思考题：设 (,)(,)(,),(,)fuvwuvtvtxy求 的锁链公式，并画出变量之间关系图.zxuvyxzuyxzxyuxyzx三、隐函数微分法设 ),(0),(yxzzyxF确 定则 )0; zzzx FF要 求 偏 导 数 连 续 且四、几何应用（数学一）1．空间曲面上一点处的切平面和法线2．空间曲线上一点处的切线和法平面（乙） 典型例题例 1 求 的偏导数zyxu)(解 ， 1)(zx121()zzuxxyy()lnzuy例 2 设 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ， 又 函 数 分 别 由 下 列 两 式 确 定,xf )()(xzy及dxuteyezx求和 0sin2解 dxffdxuzy由 0)(][,2  dxyxyeexyy 得求 导两 边 对解出 1( yx分 子 和 分 母 消 除 公 因 子由 )()(sin,sin0 dxzzxexdtezx 得求 导两 边 对解出 )sin(1zxzx所以 zfxeyfdu])si([例 3 设 所确定的函数，其中 f 具有0),()(, yFfzxzy和是 由一阶连续导数，F 具有一阶连续偏导数 求 dxz解 分别在两方程两边对 x 求导得[1]0xyz yzxdzdffffdFFFxx 化 简解出 ()yxzffdzF例 4 设 由 方 程有 连 续 偏 导 数 ),(),( yz。xfuduzeye求所 确 定解一：令 ,yyxxzyx eFeeF )1(,)1(),( 得则 用 隐 函 数 求 导 公 式 得zze1zyzxzx eyF1;zxzxzxffu1yzyzyzffedyezfdxzfduxdu zyzx )1()( 解二： 在 得两 边 求 微 分zyxeedzeyd)1()1()( 解出 zyxez)(代入 dfydfuzx zyxzyx edff )1(合并化简也得 yeffdu zzyzxzx )1( 例 5 设 具有二阶连续偏导数，且满足),(vuf ,122vfu22,)(1,),( ygxyxfyxg求解： ,2vuvfyuxgfxyg,2ffxuvx而 ； 代入上式22fff 22ffufvvx故： ,2222 fxvufyfyxgvfff 2222所以： 22222 )()( yxfyxufyxgx 例 6 已知 ),(,,0),( zvuFzzyF其 中确 定 均有连续编导数，求证 yx证： 0),(),(),( zGzyxvu )()(11 22zyFzxFFGvuzvyx 根据隐函数求导公式vuzxy vuzyxG则得 zxu xfv y()fu例 7 设 zuxvvzuyx,,2求解：对 得的 两 边 求 全 微 分 。,2vdzudyxvdzyzux2,12)(,uzzvxydv,,21uuzvx§6.3 多元函数的极值和最值（甲） 内容要点一、求 的 极 值),(yxfz第一步 ),21(),(0),( lkyxf ky 求 出 驻 点第二步 ,,), kxykykxk fff 令 (0,)kkfxy若 则 不 是 极 值若 则 不 能 确 定 （ 有 时 需 从 极 值 定 义 出 发 讨 论 ）若 则 是 极 值进一步 为 极 大 值则若 为 极 小 值则若 ),(0),(kkxfyf二、求多元（ ）函数条件极值的拉格朗日乘子法2n求 的 极 值),(1nfu约束条件 )(0),(1mnmxn   0),(,0 ),(),(),,(1 111111nmxx niminmnxFF xxfn 令求出 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义,2),(1lkxnk确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题（乙） 典型例题一、普通极值例 1 求函数 的极值224yxyxz解 yxz4,33要求 32,0yzxyx得故知 由此解得三个驻点,1,,0yy又 2,2,2122  yzxzxz在点（1，1）处 是 极 小 值 点又 )1,(,0196 10,,2 ),(2)1,(2)1,( ABCyzCyxzxz极小值 在点（-1，-1 ）处),(Z也 是 极 小 值 点)1,(,0196 10,2,2 ),(2)1,(2)1,(   ABCyzCyxzxz极小值 在点（0，0）处2)1,(Z不 能 判 定0 2,2,2 22 )0,()0,(),0( BACyzCyxzxz这时 取 , 4 zy为 充 分 小 的 正 数 ） 则（ 其 中而 取 不是极值点）由 此 可 见 （时 0,042zx例 2 确定的函数，求1816),( 22zyxyyx是 由设的极值点和极值。),(yxz解 因为 0821062 zy每一项对 x 求导，z 看作 x，y 的函数，得（1）,y每一项对 y 求导，z 看作 x，y 的函数，得（2）.02206zx令 故 ,013,,0zyxyzx得 .,3yzx将上式代入 ，可得18262.3,9.3,9zyxzyx或把（1）的每一项再对 x 求导，z 和 看作 x,y 的函数，得x,02)(2y把（1）的每一项再对 y 求导，z 和 看作 x,y 的函数，得xz,0226yx把（2）的每一项再对 y 求导，z 和 看作 x,y 的函数，得yz,02)(20 zy所以 ,35,1,61 ),9()3,9()3,9( 22 