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1、第 8 章 多元函数的微分法及其应用8.1 多元函数的基本概念一、填空题1已知 ，则 f(x,y)= 。2),(yxf2函数 的定义域为 。)1ln(42Z3 = 。lim0xyyx二、判断题1 如果 P 沿任何直线 y=kx 趋于（0，0）,都有 ，则 。 （ ）APfkxy)(lim0 Ayxfy)(li02 从 和 知 不存在。 （ ）),(li0xf 2),(lim0xfx ,0fyx3 下面定义域的求法正确吗？ )ln(1, yxf 解： 02)(120xyx所以定义域为 x1/2 的一切实数。三、选择题1 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A） 、 （B） 、 （C ） 、 （D）
2、 、arctanxyxy)2ln(yxe yx2.下列极限存在的是（ ）（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D） 、yxy0limyx1li0yx20limyxyx1sinl0四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。1 z12. 21)ln(yxyz3 )1)(9ln(22yxz五、求下列极限，若不存在，说明理由。1 20limyxy2. 20cos1limyxyx3 yxy0lim1141148.2 偏导数一、判断题1 如果 f(x,y)在(x 0,y0) 处， 存在，则一元函数 f(x,y0)在（x,y 0）处连续。 （ ）xf2 如果 f 在 P 处不连续，则 f 在点 P 偏导数
3、均不存在。 （ ）3 （ ）00, ),()( xyxyfd二、填空题1. 设 f(x,y)= ,则 。 。2)1,(xf )1,0(yf2. 设 u(x,y)有对 x,y 的连续偏导，且当 y=x2 时， ， y=x(x )时， = 。xux满 足 0yu三、选择题1. f(x,y)在(x 0,y0)处 ， 均存在是 f(x,y)在(x 0,y0)处连续的（ ）条件。xfy（A） 、充分 （B） 、必要 （C） 、充分必要 （D） 、既不充分也不必要2 已知 0，则（ ）xf（A） 、f(x,y) 关于 x 为单调递增 （B） 、f(x,y)0 （C） 、 0 （D） 、f(x,y)=x(y
4、 2+1)2xf3.设函数 Z=f(x,y), =2,且 f(x,0)=1, x,则 f(x,y)=( )2yf)0,(xfy(A)、x 2+xy-1 (B)、y 2+xy+1 （C） 、y 2+xy+c （D） 、x 2+xy+y2+1 四、求下列函数的一阶偏导数。1. z 2. uln yarctnl3.u= 4.F(x,y)=zyx dxesfxy102)(5.z=(1+xy)xy 6.f(x,y)= yxxarcsin)1(五、求下列函数的二阶偏导数。 1.z=x4+y4-4x2y2 2.u=ln 22zyx3.u= 4。yxarctn yxz六、设 z= ，求证：yxe1 zyxz2
5、2七、若 u= ，求证：yxzarctn022Zuyx八、 求 f(x,y)= 在（ 0，0）点的偏导数。2yx九、设 f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求 ， ， 。)1,0(xf)2,(xyf)1,0(yxf1161168.3 全微分及其应用一、判断题1.如果 f(x,y)在 (x0,y0)满足条件： ， 存在且连续，则 f(x,y)在(x 0,y0)可微。 （ ）)(0,yxf )(0,yxf2.f(x,y)有二阶连续偏导且 df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则 （ ）PQ二、填空题1.F(x,y,z)= ,则 df(1,1,1)= 。 2.设 Z=ln(x+y2),则
6、= 。zyx1)( )0,1(dz三、选择题1 在点 P 处，f 可微的充分条件是（ ）（A） 、f 的全部二阶偏导连续。 （B ） 、f 连续 （C） 、f 的全部一阶偏导连续。 （D ） 、f 连续且 ， 均存在 。 xfy2 肯定不是某个二元函数的全微分的为（ ）（A） 、ydx+xdy (B)、ydx-xdy （C） 、xdx+ydy （D） 、xdx-ydy3.使 的函数 f 为（ ）fd（A） 、ax+by+c （B） 、sinxy （C ） 、e x+ey （D） 、x 2+y2 四、求下列函数的全微分.1.z=exysin(x+y) 2.u=xxyz3.z= 4.xy)sec(
7、 )1,(2,1lndzyxz求五、设 讨论 f(x,y)在（0，0）0,)(2yxf（1）.偏导数是否存在。 （2）.是否可微。8.4 多元复合函数的求导一、判断题1f(x,y) 具有一阶连续偏导，u=f(x,y,z) 则 = （ ）xuf2设 z=z（x,y ）有二阶连续偏导，变换 把 6 + - =0 简化为 =0， byvaxz2y2vuz2则常数 a,b 满足条件：a=3,b=3 ( )二、填空题 1. z=xy+x3,则 + = 。xzy2. z= ，其中 f(x,y)可微,则 = 。),sin(ef xz3. 设 有二阶连续导数。则 = 。,)(1fxz yxz2三、选择题1设
8、z=sin(xy2)，则 + =（ ）yzx（A） 、cos(xy 2) （B） 、2ycos(xy 2) （C） 、2xcos(xy 2) （D） 、ycos(xy 2)2.z=f(x,y,z) ,则 =（ ）x（A） 、 （B） 、 / （C ） 、 /（1- ） （D） 、 （ + ）/（1- ）ffyxfzfxfyxf四、设 u= ,z=x2siny,求 ， 。2zyxeu五、设 u=f(xy,x2+y2)且 f 可微，求 ， 。xuy六、设 。dxuzxayzxeua求,cos,in,1)(2118118七、已知 z=f(x2y,ln(xy), , .。xzy2八、设 z=f(u,x
9、,y),u=xey.f 有连续偏导，求 ， 。xzy九、若 z=f(ax+by),f 可微，求证：b -a =0.xzy十、若 f(x+y,x-y)=x2-y2,求证： + =x+yxfy十一、 u=xf(2x+3y,ey+z),求 2yu十二、 设函数 u 满足 + + =0，作变换 ，求证： =0xyzuxzyux, u8.5 隐函数求导一、 填空题1 由方程 确定的函数 z=z（x,y）,在点（1，0，-1）处的全微分22zyxzdz= 。2.设 zsin(x+2y-3z)=x+2y-3z,则 + = 。xy3.设 ，其中 可微，则 = 。)(2yzxz二、选择题1 设 z=z(x,y)
10、由方程 F（x-az,y-bz ）确定，其中 F（u,v）可微，a,b 为常数，则（ ）yz（A） 、a -b （B） 、b -a （C） 、a + b （D） 、b +axzxyzxzyxzy2 设 z=z(x,y)由方程 x2+y3-xyz2=0 确定，yx +y =( )(A)、 (B)、 (C)、 （D） 、yzx32yz2xyz233xyz23三、设 确定 y 与 x 的函数。用两种方法求 。exsin2 d四、由 x+y+z= 确定 z 是 xy 的函数，求 dz。xy120120五、 3-3xyz=a3,求 。xyxz2六、设 ，求 ， 。 ， 。2vuyxxyuxv七、设 z=
11、f(u),u= (u)+ 确定 u=u(x-y), 连续且可微， 求证：xydtP)(,f ,1)(uP（u） +P(x) =0xz八、设 f(x,y)= ,求证： - + + =0。dtexy022xfy2yf2yxe8.6 微分在几何上的应用一、判断题1 为曲线 T 在 t0 处的切向量，则- 也为切向量。 （ ）T2曲面 F(x,y,z)=0 一般有两个法方向，如果 FZ0,法向量 =Fx,Fy,Fz一定指向曲面.（ ）h3xoy 平面中曲线 F（ ）=0 的一个法向量为F x,Fy（如果 Fx,Fy 不全为 0） 。 （ ）yx二、填空题1曲线 x=t3,y=t2,z=t 在点（1，1
12、，1）的切向量 = 。T2x 2+y2+z2=12 在点（2，-2，2）的切平面方程为 。三、选择题1 曲面 Z=F(x,y,z)的一个法向量为（ ）（A） （B） 1,zyxF 1,1zyzF（C） （D） z z2 旋转抛物面 z=2x2+2y2-4 在点（1，-1，0）处的法线方程为（ ）（A） （B）41yx 141yx（C） （D）z z四、求曲线 l：x=cost,y=sint,z=2t 在 t= 处的切线和法平面方程。五、求曲线 在点 M0（ ）处的切线方程。122zyx 61,2六、求曲面 Z=xy 在（1，2， 2）处的切平面与法线方程。122122七、求曲线 x=t2,y=t,z=t3 上的点使该点的切线平行于平面 2x+y+z=4.八、设 M（1，-1，2）为曲面 Z2= 上的一点，且 ， ，求曲面在点 M)(yxf 2)1,(xf 2)1,(yf处的切平面指向该曲面下侧的法向量 轴正向的夹角的余弦。on
