人们在长期的实践中发现，要得到理想的结果，并不需要进行全面试验，即使因素个数、水平都不太多，也不必做全面试验．尤其对那些试验费用很高，或是具有破坏性的试验，更不要做全面试验．我们应当在不影响试验效果的前提下，尽可能地减少试验次数。正交设计就是解决这个问题的有效方法。正交设计的主要工具是正交表，用正交表安排试验是一种较好的方法，在实践中已得到广泛的应用。1 正交表及其用法正交表是一种特制的表格．这里先介绍表的记号、特点及用法．下面以 L。(3‘)为例来说明．这个正交表的格式如表 1．表 1 正交表 L9(34)列号试验号 1 2 3 41 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1L9(34) 是什么意思呢 ?字母 L 表示正交表；数字 9 表示这张表共有 9 行，说明用这张表来安排试验要做 9 次试验；数字 4 表示这张表共有 4 列，说明用这张表最多可安排 4 个因素；数字 3 表示在表中主体部分只出现 1，2，3 三个数字，它们分别代表因素的 3 个水平，说明各因素都是 3 个水平的．一般的正交表记为 Ln(mk)，n 是表的行数，也就是要安排的试验次数；k 是表中列数，表示因素的个数；m 是各因素的水平数。常见的正交表如下：（1）2 水平正交表——L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。这几张表中的数字 2 表示各因素都是 2 水平的；试验要做的次数分别为 4，8，12，16；最多可安排的因素分别为 3，7，11，15。（2）3 水平的正交表——L9(34)，L27(313)。这两张表中的数字 3 表示各因素都是 3 水平的，要做的试验次数分别为 9，27；最多可安排的因素分别为 4，13。（3）4 水平的正交表——L14(45)。（4）5 水平的正交表——L25(56)。正交表有下面两条重要性质：(1)每列中不同数字出现的次数是相等的，如 L9(34)，每列中不同的数字是 1，2，3，它们各出现 3 次；(2)在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如 L9(34)，有序数对共有 9 个：(1 ，1)，(1，2) ，(1，3) ，(2 ，1)，(2，2)，(2 ，3)，(3，1) ，(3，2)，(3 ，3)，它们各出现一次。由于正交表有这两条性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平的搭配是均衡的，这是正交表的优点。 下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。例 1 某炼铁厂为了提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案。经初步分析，主要有 3 个因素影响铁水温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑 3 个水平，具体情况如表 2。问对这 3 个因素的 3 个水平如何安排，才能获得最高的铁水温度?表 2 实验因素与水平 因素水平A B C焦比 风压/133Pa 底焦高度/m1231:16 170 1.21:18 230 1.51:14 200 1.3解: 正交表 L9(34)列号试验号 A B C 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 2 1 2 5 2 2 3 6 2 3 1 7 3 1 3 8 3 2 1 9 3 3 2 这九个实验代表了全部 27 个实验。按照 9 个实验方案进行实验，结果见表 3。表 3 按实验方案实验结果 试验编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9铁水温度/℃ 1365 1395 1385 1390 1395 1380 1390 1390 1410为了便于分析，将结果与正交表合编，以便利于计算。由于铁水温度数值较大，可把每一个铁水温度的值减去 1350，得到 9 个较小的数，这样使计算简单（表 4） 。表 4 因素试验号 A B C 铁水温度/℃ 铁水温度值减去 13501234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 2136513951385139013951380139013901410154535404530404060K1K2K395 95 85115 130 145140 125 120K1=K1/3K2=K2/3K3=K3/331.7 31.7 28.338.3 43.3 48.346.7 41.7 40.0极差 15.0 11.6 20.0优方案 A3 B2 C2表 4 中下面的 8 行是分析计算过程中需要分析的内容。K1 这一行的 3 个数，分别是因素 A，B，C 的第 1 水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350 以后)之和。比如对因素 A(第 1 列)，它的第 l 水平安排在第 1，2，3 号试验中，对应的铁水温度值(减去 1350 以后 )分别为 15，45，35，其和为 95，记在 K1 这一行的第 1 列中。对于因素 B(第 2 列)，它的第 1 水平安排在第 1，4，7 号试验中，对应的铁水温度值( 减去1350 以后)分别为 15，40，40 ，其和为 95，记在 K1 这一行的第 2 列中。对于因素 C(第 3 列)，它的第 l 水平安排在第 1，6，8 号试验中，对应的铁水温度值(减去1350 以后)分别为 15，30，40 ，其和为 85，记在 K1 这一行的第 3 列中。类似地，K2 这一行的 3 个数，分别是因素 A，B，C 的第 2 水平所在的试验中对应的铁水温度(减去 1350 以后)之和。K3 这一行的 3 个数，分别是因素 A，B，C 的第 3 水平所在的试验中对应的铁水温度(减去 1350 以后) 之和．K1，k2，k3 这 3 行的 3 个数，分别是 K1，K2，K3 这 3 行中的 3 个数除以 3 所得的结果，也就是各水平所对应的平均值.同一列中，K1，k2，k3 这 3 个数中的最大者减去最小者所得的差叫做极差。一般地说，各列的极差是不同的，这说明各因素的水平改变时对试验指标的影响是不同的。极差越大，说明这个因素的水平改变时对试验指标的影响越大。极差最大的那一列，则那个因素的水平改变时对试验指标的影响就最大，那个因素就是我们要考虑的主要因素。这里算出 3 列的极差分别为 15.0，11.6，20.0，显然第 3 列即因素 C 的极差 20.0 最大。这说明因素 C 的水平改变时对试验指标的影响最大，因此因素 C 是我们要考虑的主要因素。它的 3 个水平所对应的铁水温度(减去 1350 以后) 平均值分别为 28.3，48.3，40.O，第 2 水平所对应的数值 48.3 最大，所以取它的第 2 水平最好。第 1 列即因素 A 的极差为 15.0，仅次于因素 C，它的 3 个水平所对应的数值分别为31．7，38.3，46.7，第 3 水平所对应的数值 46.7 最大，所以取它的第 3 水平最好。第 2 列即因素 B 的极差为 11.6，是 3 个因素中极差最小的，说明它的水平改变时对试验指标的影响最小，它的 3 个水平所对应的数值分别为 31.7，43.3，41.7，第 2 水平所对应的数值 43.3 最大，所以取它的第 2 水平最好。从以上分析可以得出结论：各因素对试验指标(铁水温度)的影响按大小次序来说应当是C(底焦高度)A( 焦比)B(风压)；最好的方案应当是 C2A3B2，即C2：底焦高度，第 2 水平， 1.5，A3：焦比，第 3 水平，1:14，B2：风压，第 2 水平，230 。可以看出，这里分析出来的最好方案在已经做过的 9 次试验中没有出现，与它比较接近的是第 9 号试验．在第 9 号试验中只有风压 B 不是处在最好水平，而且风压对铁水温度的影响是 3 个因素中最小的。从实际做出的结果看出，第 9 号试验中的铁水温度是 1410℃，是9 次试验中最高的，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。为了最终确定上面找出的试验方案 C2A3B2 是否为最好方案，可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第 9 号试验更好的结果。若比第 9 号试验的效果好，就确定上述方案为最好方案，若不比第 9 号试验的效果好，可以取第 9 号试验为最好方案。如果出现后一种情况，说明我们的理论分析与实践有一些差距，最终还是要接受实践的检验。现将利用正交表安排试验并分析试验结果的步骤归纳如下：(1)明确试验目的，确定要考核的试验指标。(2)根据试验目的，确定要考察的因素和各因素的水平。要通过对实际问题的具体分析选出主要因素，略去次要因素，这样可使因素个数少些。如果对问题不太了解，因素个数可适当地多取一些，经过对试验结果的初步分析，再选出主要因素。因素被确定后，随之确定各因素的水平数。以上两条主要靠实践来决定，不是数学方法所能解决的。(3)选用合适的正交表，安排试验计划。首先根据各因素的水平选择相应水平的正交表。同水平的正交表有好几个，究竟选哪一个要看因素的个数。一般只要正交表中因素的个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既能保证达到试验目的，又使试验的次数不至于太多，省工省时。(4)根据安排的计划进行试验，测定各试验指标。(5)对试验结果进行计算分析，得出合理的结论。上述方法一般称为直观分析法．这种方法比较简单，计算量不大，是一种很实用的分析方法。 最后再说明一点，这种方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平