如何求三角函数及最值

三角函数的最值问题一、 配方法： 形如 y=asin2x+bcosx+c 型的函数特点是含有 sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用配方或换元法，转化成二次函数来求解。例 1 函数 的最小值为（ ）.3cossin2xyA． 2 B . 0 C . D . 641[分析]本题可通过公式 将函数表达式化为xx22cssi，因含有 cosx 的二次式，可换元，令 cosx=t，则cos32xy配方，得 , 当 t=1 时,即,2,1tt 4123ty,1tcosx=1 时， ,选 B.0miny例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 483162,21sin 68312,,1sin, 5sin1sin5i21si5maxmin2 yzkx yzkxxxxy二、 引入辅助角法： 形如 y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y= sin(x+φ) ，其中2abtanb例 3 求 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值，并求出 y 取最小值时的 x 的集合。[分析] 此类问题为 的三角函数求最值问题，xcbay22ossini它可通过降次化简整理为 型求解。x解：y=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x =2+ sin(2x+ )4当 sin(2x+ )=-1 时，y 取最小值 2- ，此时 x 的集合{x|x=k π- π, k∈Z}.38例 4 已知函数 ，求函数 f(x)的最小正周期和最大值。)cos(ins2xxf[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：   4212sinco1sin2si xsnxxxff(x)的最小正周期为 ，最大值为 。三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例 5 求函数 的值域1cos2xy[分析] 此为 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函dba数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为 ，可直接得到： 或1cos,cs21xxy3y.31y解法一：原函数变形为 或 ,12,1cos,2cosyxyx 3y.1四 、引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有 sinx+cosx，与 sinxcosx 的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最,cosin21cosinxx值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例 6 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。[分析]解： 令 sinx+cosx=t，则.cosin21cosinxx，其中ttytx 1,2cosi 22,t当 .2,14in,maxt五、 利用函数在区间内的单调性例 7 已知 ，求函数 的最小值。,0xxysin[分析] 此题为 型三角函数求最值问题，当 sinx>0,a>1，不能用均值xasin不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设 ，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时， 。tytx,0,sin 3miny六 、分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例 8 设 ，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a). 2014sinco2 xaxxf解： 令 sinx=t,则.2isin2f ,1t .241422 atatxftg（1） 当 ，即 在[0，1]上递增， 1atg, ;2143agM（2） 当 即 时， 在[0，1]上先增后减，,202at;14gaM（3） 当 即 在[0，1]上递减，,02t, .4210agaM0,4212,,1432aaM以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。