《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题例 1 如图，△DAB、 △EBC、△ FAC 都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形．例 2 如图，E、F 分别是 ABCD 边 AD 和 BC 上的点，并且 AE=CF，AF和 BE 相交于 G，CE 和 DF 相交于 H、EF 与 GH 是否互相平分，请说明理由．例 3 如图，在平行四边形 ABCD 中，A 1、A 2、A 3、A 4 和 B1、B 2、B 3、B 4分别是 AB 和 DC 的五等分点，C 1、C 2 和 D1、D 2 分别是 AD 和 BC 的三等分点，若四边形 C1A4D2B1 的面积为 1，求 S 平行四边形 ABCD.例 4 已知：如图，E，F 分别为 ABCD 的边 CD，AB 上一点，AE∥CF，BE， CF 分别交 CF，AE 于 H，G. 求证：EG=FH. 例 5 如图，已知：四边形 ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F 为垂足，且 AE=CF，∠ BAC=DCA.求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 3 / 5参考答案例 1 分析 要证四边形 AFED 是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形 AFED 的对边是否相等．事实上，AD=AB=BD，EF 是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到，∴EF=AB=BD．同理 DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED 是平行四边形．证明 ，∴ ，且 ，∴ ，∴ 又 ，同理 ．∴AFED 是平行四边形．例 2 分析 若 EF、GH 互相平分，那么四边形 EGFH 应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形 EGFH 是平行四边形．证明 是平行四边形，∴ 又 ，∴ ，且 ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴ ，∴ 又四边形 EDFB 是平行四边形， ∴ ，∴ 在四边形 GEHF 中， ，∴四边形 GEHF 是平行四边形，∴EF 和 GH 互相平分．说明： 本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别．例 3 分析 平行四边形 ABCD 被 和 分别成 15 个相等的小平行四边形。而 是 4 个小平行四边形面积的一半， 是 2 个小平行四边形面积的一半。因此四边形 的面积等于 9 个小平行四边形的面积，所以平行四边形 ABCD 的面积为 。　　说明: 通过本题可知：由 分别是 5 等分点，则可知 ，四边形 是平行四边形，并且 的面积是平行四边形 ABCD 面积的 。例 4 证明：∵ ，∴四边形 AECF 是平行四边形 . ∴ ∵ ，∴ ∵ ，∴四边形 BFDE 是平行四边形 . ∴ . ∵ ，∴四边形 GFHE 是平行四边形. ∴ . 说明：本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形 GFHE是平行四边形. 例 5证法 1 ∵ ， ，∴ ∴ ∵ ，∴ 在 和 中，∵ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 5 / 5证法 2 设 AC 与 BD 交点为 O. ∵ ，∴ ∴ 在 和 中，， ， ，∴ . ∴ . 在 和 中，∵ ，∴ ∴ ，即 ∵ ，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 说明 由垂直得到平行是关键