江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题

2012-2013 学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上． ）1． （4 分）已知集合 A={1，2，3}，B={1，2，5} ，则 A∩B=　{1} 　．考点： 交集及其运算．3481324专题： 阅读型．分析： 把两个集合的公共元素写在花括号内即可．解答： 解：由 A={1，2，﹣ 3}，B={1，﹣4，5}，则 A∩B={1，2，﹣3}∩ {1，﹣ 4， 5}={1}．故答案为{1}．点评： 本题考查了交集及其运算，考查了交集概念，是基础的概念题．2． （4 分）设复数 z1=2+2i，z 2=2﹣2i，则 =　i　．考点： 复数代数形式的乘除运算．3481324专题： 计算题．分析： 把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答： 解：因为复数 z1=2+2i，z 2=2﹣2i，所以 = = = = =i．故答案为：i．点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3． （4 分）若数据 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，3 的平均数为 3，则数据 x1，x 2，x 3，x 4，x 5 的平均数为　3　．考点： 众数、中位数、平均数．3481324专题： 概率与统计．分析： 根据平均数的性质知，要求 x1，x 2，x 3，x 4，x 5 的平均数，只要把数x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的和表示出即可．解答： 解：∵ x1，x 2，x 3，x 4，x 5，3 的平均数为 3，∴数 x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3∴x1， x2，x 3，x 4，x 5 的平均数=（x 1+x2+x3+x4+x5）÷ 5=（6× 3﹣3）÷5=3．故答案为：3．点评： 本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．4． （4 分）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F2 的面积为 6，则点 P 的坐标为　 　．考点： 双曲线的简单性质．3481324专题： 计算题．分析： 由双曲线方程，算出焦点 F1、F 2 的坐标，从而得到|F 1F2|=6．根据△ PF1F2 的面积为6，算出点 P 的纵坐标为 2，代入双曲线方程即可算出点 P 的横坐标，从而得到点 P的坐标．解答：解：∵ 双曲线的方程是 ，∴a2=4 且 b2=5，可得 c= =3由此可得双曲线焦点分别为 F1（﹣3，0） ，F 2（3，0）设双曲线上位于第一象限内的一点 P 坐标为（m ，n） ，可得△PF 1F2 的面积 S= |F1F2|•n=6，即 ×6×n=6，解得 n=2将 P（m，2）代入双曲线方程，得 ，解之得 m= ．∴点 P 的坐标为故答案为点评： 本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为 6 的三角形，求该点的坐标，着重考查了三角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5． （4 分）曲线 y=2lnx 在点（ e，2）处的切线（e 是自然对数的底）与 y 轴交点坐标为　（0，0）　．考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．3481324专题： 导数的综合应用．分析： 求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把 x=0 代入切线方程中即可求出 y 轴交点坐标．解答： 解：对 y=2lnx 求导得：y′= ，∵切点坐标为（e，2） ，所以切线的斜率 k= ，则切线方程为：y﹣2= （x﹣e ） ，把 x=0 代入切线方程得：y=0，所以切线与 y 轴交点坐标为 （0，0） ．故答案为：（0，0） ．点评： 本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6． （4 分）如图，ABCD 是一个 4×5 的方格纸，向此四边形 ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为　0.2　．考点： 几何概型．3481324专题： 计算题；概率与统计．分析： 试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形，若设小正方形的边长是 1，则长方形的面积是 20，满足条件的事件是正方形面积是 4，根据面积之比做出概率．解答： 解：由题意知本题是一个几何概型，设每一个小正方形的边长为 1试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形，面积为 5×4=20阴影部分是边长为 2 的正方形，面积是 4，∴落在图中阴影部分中的概率是 =0.2故答案为：0.2点评： 本题考查几何概型，解题的关键是求出两个图形的面积，根据概率等于面积之比得到结果，本题是一个基础题．7． （4 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（a）＞f （b） ，则 f（﹣a）　＜　f（﹣ b） （用“＞”或“＜” 填空） ．考点： 函数奇偶性的性质．3481324专题： 函数的性质及应用．分析： 根据奇函数的性质 f（﹣x）= ﹣f（x）求解．解答： 解：根据奇函数的性质，f（ ﹣a）=﹣f（a） ，f（﹣b）=﹣f（b） ；∵f（ a）＞ f（b ） ，∴ ﹣f（a ）＜ ﹣f（b） ，即 f（﹣a）＜f（﹣b） ．故答案是＜点评： 本题考查函数的奇偶性．8． （4 分）在空间中，用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下列四个命题：①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c ，则 a⊥c；③若 a∥γ，b∥ γ，则 a∥b； ④若 a⊥γ，b⊥ γ，则 a∥b；其中真命题的序号为　①④　．考点： 命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．3481324专题： 阅读型．分析： ①有平行线公理判断即可；②中正方体从同一点出发的三条线进行判断；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④由线面垂直的性质定理可得；解答： 解：①因为空间中，用 a，b ，c 表示三条不同的直线，若 a∥b，b∥ c，则 a∥c，满足平行线公理，所以 ①正确；②中正方体从同一点出发的三条线，也错误；③可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；④可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：①④．点评： 与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9． （4 分）如图是一个算法流程图，则输出的 P=　 　．考点： 程序框图．3481324专题： 计算题；概率与统计．分析： 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当 n＜6 时，用 P+的值代替 P 得到新的 P 值，并且用 n+1 代替 n 值得到新的 n 值，直到 n=6时输出最后算出的 P 值，由此即可得到本题答案．解答： 解：根据题中的程序框图可得：当 n＜6 时，用 P+ 的值代替 P，并且用n+1 代替 n 值；直到当 n=6 时，输出最后算出的 P 值．因此可列出如下表格：依此表格，可得输出的 P= + + + + =1﹣ =故答案为：点评： 本题给出程序框图，求最后输出的 P 值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10． （4 分）已知点 P（t ，2t） （t≠0）是圆 C：x 2+y2=1 内一点，直线 tx+2ty=m 与圆 C 相切，则直线 x+y+m=0 与圆 C 的位置关系是　相交　．考点： 直线与圆的位置关系．3481324专题： 计算题；直线与圆．分析： 由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为 M 为圆内一点，所以 M 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离 d，根据求出的不等式即可得到 d 大于半径 r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答： 解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0） ，半径 r=1，由 P 为圆内一点得到： ＜1，则圆心到已知直线 tx+2ty=m 的距离 d= =1，可得|m|= ＜1，圆心到已知直线 x+y+m=0 的距离 ＜1=r，所以直线 x+y+m=0 与圆的位置关系为：相交．故答案为：相交．点评： 此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．11． （4 分）设 a∈R，s：数列{（n﹣a） 2}是递增的数列；t：a≤1，则 s 是 t 的　必要不充分　条件． （填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要” 中的一个） ．考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．3481324分析： 在 a∈R 的前提下，看由数列{（n﹣a） 2}是递增的数列能否推出 a≤1，再看由 a≤1 能否推出数列{（n﹣a） 2}是递增的数列．解答： 解：若数列{（n﹣a） 2}是递增的数列，则（n+1﹣ a） 2﹣（ n﹣a） 2=（n+1） 2﹣2a（n+1）+a 2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a＞0，即 a＜n+ ，因为 n 的最小值是 1，所以当 n 取最小值时都有 a＜ ，则 a≤1 不成立．又由（n+1﹣ a） 2﹣（n﹣a ） 2=（n+1） 2﹣2a（n+1）+a 2﹣n2+2an﹣a2=n2+2n+1﹣2an﹣2a+a2﹣n2+2an﹣a2=2n+1﹣2a．因为 n 是大于等于 1 的自然数，所以当 a≤1 时，2n+1﹣ 2a，即数列{（n﹣a） 2}中，从第二项起，每一项与它前一项的差都大于 0，数列是递增的数列．所以，s 是 t 的必要不充分条件．故答案为必要不充分．点评： 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若 p⇒q 为真命题且 q⇒p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；②若 p⇒q 为假命题且 q⇒p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；③若 p⇒q 为真命题且 q⇒p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；④若 p⇒q 为假命题且 q⇒p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件．此题是基础题．12． （4 分）各项均为正数的等比数列{a n}中，若 a1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则 a4 的取值范围是　．考点： 简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．3481324专题： 计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析： 根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于 lga1 和 lgq 的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y， lga4=t，得到关于 x、y 的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到 a4 的取值范围．解答：解：设等比数列的公比为 q，根据题意得： ，∴各不式的两边取常用对数，得令 lga1=x，lgq=y ，lga 4=t将不等式组化为： ，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部其中 A（0，lg2） ，B（2lg2﹣ lg3，lg3 ﹣lg2） ，C（0， lg3）将直线 l：t=x+3y 进行平移，可得当 l 经过点 A 时，t=3lg2 取得最大值；当 l 经过点 B 时，t= ﹣lg2+2lg3 取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即 lga4∈[lg ，lg8 ]由此可得 a4 的取值范围是故答案为：点评： 本题给出等比数列，在已知 a1≥1