江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题含答案

泰兴市第三高级中学 2013届高三第二学期期初调研考试数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．答案写在答卷纸上． ）1．若全集 ，集合 ， ，则集合 = ▲ ．RU01xA03xBBACU)(2．已知复数 ， ，则“ 2a”是“ z为纯虚数”的_____ ▲ 条件． （填写iaz3)4(2R“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要”中的一个）3．如图 1,是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为___ ▲ ____.4．已知 ， ，若 ，则正数 的值等于 ▲ ． )2,1(a)log,(2mbbam5．如图 2 所示的算法流程图中，若 2(,(),xfg则 (3)h的值等于 ▲ ．6．已知正六棱锥 的底面边长为 1 ，侧面积为 3 ，则该棱锥ABCDEFPc2c的体积为 ▲ ．3cm7． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 ， ，设 ，则满足mn),(na5a的概率为 ▲ ．8．已知函数 的图像关于直线 对称，且 为函)0(sin2)(xf 3x12数 的一个零点，则 的最小值为 ▲ ．xf9．设圆 ： 的一条切线与 轴、 轴分别交于点 ，则 的最小值为 ▲ ． C24yxy,AB10．已知数列 满足 ，则该数列的前 10 项的和na22122,,(1cos)sinnaa为 ▲ ．11、已知 是椭圆2:1xyCab(0)ab的右焦点，点 P在椭圆 C上，线段 与圆F PF2214xyb 开 始输 入 xf()>gh=输 出结 束是 否图 2图 1相切于点 Q，且 ，则椭圆 C的离心率为 ▲ ．FP12、如图 3 都是由边长为 1 的正方体叠成的图形图 3例如第（1）个图形的表面积为 6 个平方单位，第（2）个图形的表面积为 18 个平方单位，第（3）个图形的表面积是 36 个平方单位．依此规律，则第 个图形的表面积是_____▲_____个平方单位．n13．如图 4，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为 2，高为 1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记 xCD，梯形面积为 S．则 的最大值是 ▲ ． 图 414．设 ,xy是正实数，且 1xy，则21yx的最小值是 ▲ 二、解答题（本大题共6小题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、(本题满分 14 分)已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ．ABC△ 20ACBBAC（I）求 的取值范围；（II）求函数 的最大值及取得最大值时的 值．2()sincos(2)46f π16、(本题满分 14 分)如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ，1DCBAA120DABE为线段 的中点， 为线段 的中点． 1CF1BD（Ⅰ）求证： ∥平面 ；AC（Ⅱ）当 的比值为多少时， 平面 ，并说明理由．1DE1 D1BF1E1CABC17、(本题满分 15 分)一化工厂因排污趋向严重，2011 年 1 月决定着手整治。经调研，该厂第一个月的污染度为 60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 ……污染度 60 31 13 0 ……污染度为 0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： ()204(1)fxx， 20(4)(13gx，2()30log1hx，其中 表示月数， )fh、 、 分别表示污染度．（参考数据： ）7.3l,.（Ⅰ）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（Ⅱ）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过 60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？18．(本题满分 15 分)已知双曲线 ： 的左焦点为 ，左准线 与 轴的交点是圆 的圆心，E214xyFlxC圆 恰好经过坐标原点 ，设 是圆 上任意一点．COGC（Ⅰ）求圆 的方程；（Ⅱ）若直线 与直线 交于点 ，且 为线段 的中点，求直线 被圆 所截得的弦长；FlTTG（Ⅲ）在平面上是否存在定点 ，使得对圆 上任意的点 有 ？若存在，求出点 的坐标；P12FPP若不存在，请说明理由．19．(本题满分 16 分)已知 xgexaxf ln)(],0,ln)( ，其中 e是自然常数， .aR（Ⅰ）当 1a时, 研究 的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1()2f；（Ⅲ）是否存在实数 ，使 fx的最小值是 ，若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由．320．(本题满分 16 分)设数列 的各项都为正数，其前 项和为 ，已知对任意 ， 是nannS*Nn2nS2na和 的等比中项．（Ⅰ）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；nana（Ⅱ）证明： ；1122nSS（Ⅲ）设集合 ， ，且 ，若存在 ∈ ，使对满足 的一kmM{Z}150kmMmn切正整数 ，不等式 恒成立，试问：这样的正整数 共有多少个？ n240nna泰兴市第三高级中学 2013届高三第二学期期初调研考试数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 请直接将答案填在题中的横线上）1、 2、 充分不必要 3、 87 4、 5、 9 6、 7、 3,16433618、 2 9、 4 10、 77 11、 12、 13、 14、 n3224二、解答题（本大题共6小题，满分 90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．解：（Ⅰ）设 中角 的对边分别为 ，ABC△ 、 、 abc、 、则由 ， ， …………………………………2 分1sin2bc0cos2b可得 ， …………………………………4 分ta． …………………………………6 分(,)π42∴ ，（Ⅱ） ……………8 分()f311cos(cos2in)．…………10 分3sin2in2i()6， ， 当 时， ………………12 分π4∵ ， π56， ∴ π3有 ． ………………………………14 分max()31.f16． （ Ⅰ ）证明：连接 ,由题意可知点 为 的中点． 因为点 为 的中点．ACF1ACE1C在 中， ．……………………………………………………………２分1EF又 面 ， ， ．……………………６分BDB平EBD平（Ⅱ）当 时， ． ………………………………………７分13DA1FDEB平四边形 为菱形，且 ， ．BC20A3AD四棱柱 为直四棱柱， 四边形 为矩形．11又 ， ，13DA1D四边形 为正方形， ……………………10 分1B1FB在直四棱柱 中， ， ，1CACD平ABC平1D四边形 为菱形， ．A， ．11D平 1,D平11平， ，又 ， ．…………………13 分FBFEAF, ．…………14 分111,,EB平 1DEB平17． （ Ⅰ ） (2)40()26.7()30fgh …………3 分3,,2.5…………6 分由此可得 ()hx更接近实际值，所以用 ()x模拟比较合理. …………7 分（Ⅱ）因 20log在 4上是增函数，又因为 (16)0h ………12 分这说明第一次整治后有 16 个月的污染度不超过 60，故应在 2012 年 5 月起开始再次整治． ……………………………………………………14 分18.解：（Ⅰ）由双曲线 E： ，得 ： ， ， ．……2 分214xyl4x(,)C(,)F又圆 C 过原点，所以圆 C 的方程为 ． ……………………4 分2()16y（Ⅱ）由题意，设 ，代入 ，得 ，…………5 分(5,)Gy 5G所以 的斜率为 ， 的方程为 ．………………6 分F1kF()yx所以 到 的距离为 ， ……………………………………7 分(4,0)C52d直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 ……………………………9 分16()7(Ⅲ)设 P(s,t),G(x0,y0),则由 ，得|2FP2006)1((xyst整理得 3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11 分又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4)2+y2=16 上，所以 x02+y02+8x0=0 ②②代入①，得(2s+24)x 0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13 分又由 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知， …………………………14 分2401st解得：s= -12, t=0. …………………………………………………………………15 分所以在平面上存在一定点 P，其坐标为（ -12,0） ． ……………………………16 分19．解：（Ⅰ） xfln)(， xf)( ……1 分∴当 10x时， /0，此时 单调递减当 e时， ()f，此时 ()f单调递增 …………3 分 ∴ ()f的极小值为 1 ……4 分（Ⅱ） 的极小值为 1，即 x在 ],0e上的最小值为 1，∴ 0x， min()f……5 分令 2l)(xgh， ， …………6 分2/ln1)(h当 e时， 0)(h， 在 ],e上单调递增 ………7 分∴ minmax |)(|1)( xf ………9 分∴在（1）的条件下， ()2fxg……………………………10 分（Ⅲ）假设存在实数 ，使 al（ ],0(e）有最小值 3，/1()fxax① 当 0时， ，所以 ， 所以 )(xf在 ],上单调递减，e,)(/f3)()(minff， ea4（舍去） ，所以，此时 x无最小值. ……12 分 ②当 ea10时， )(f在 1,0上单调递减，在 ],1(ea上单调递增3ln)(minaf， 2e，满足条件. ……14 分③ 当 e时， ，所以 ，ex,)(/xf所以 )(f在 ],0上单调递减， 31minaef， e4（舍去） ，所以，此时 )(f无最小值. ……15 分综上，存在实数 2ea，使得当 ],0(ex时 ()fx有最小值 3 .……16 分20．解：（Ⅰ）由已知， ，且 ． …………………………………1 分nnaS240当