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泰兴市第三高级中学 2013届高三第二学期期初调研考试数学试题一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答卷纸上. )1.若全集 ,集合 , ,则集合 = ▲ .RU01xA03xBBACU)(2.已知复数 , ,则“ 2a”是“ z为纯虚数”的_____ ▲ 条件. (填写iaz3)4(2R“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要”中的一个)3.如图 1,是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为___ ▲ ____.4.已知 , ,若 ,则正数 的值等于 ▲ . )2,1(a)log,(2mbbam5.如图 2 所示的算法流程图中,若 2(,(),xfg则 (3)h的值等于 ▲ .6.已知正六棱锥 的底面边长为 1 ,侧面积为 3 ,则该棱锥ABCDEFPc2c的体积为 ▲ .3cm7. 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 , ,设 ,则满足mn),(na5a的概率为 ▲ .8.已知函数 的图像关于直线 对称,且 为函)0(sin2)(xf 3x12数 的一个零点,则 的最小值为 ▲ .xf9.设圆 : 的一条切线与 轴、 轴分别交于点 ,则 的最小值为 ▲ . C24yxy,AB10.已知数列 满足 ,则该数列的前 10 项的和na22122,,(1cos)sinnaa为 ▲ .11、已知 是椭圆2:1xyCab(0)ab的右焦点,点 P在椭圆 C上,线段 与圆F PF2214xyb 开 始输 入 xf()>gh=输 出结 束是 否图 2图 1相切于点 Q,且 ,则椭圆 C的离心率为 ▲ .FP12、如图 3 都是由边长为 1 的正方体叠成的图形图 3例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个图形的表面积为 18 个平方单位,第(3)个图形的表面积是 36 个平方单位.依此规律,则第 个图形的表面积是_____▲_____个平方单位.n13.如图 4,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为 2,高为 1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记 xCD,梯形面积为 S.则 的最大值是 ▲ . 图 414.设 ,xy是正实数,且 1xy,则21yx的最小值是 ▲ 二、解答题(本大题共6小题,满分90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15、(本题满分 14 分)已知 的面积为 ,且满足 ,设 和 的夹角为 .ABC△ 20ACBBAC(I)求 的取值范围;(II)求函数 的最大值及取得最大值时的 值.2()sincos(2)46f π16、(本题满分 14 分)如图,已知直四棱柱 ,底面 为菱形, ,1DCBAA120DABE为线段 的中点, 为线段 的中点. 1CF1BD(Ⅰ)求证: ∥平面 ;AC(Ⅱ)当 的比值为多少时, 平面 ,并说明理由.1DE1 D1BF1E1CABC17、(本题满分 15 分)一化工厂因排污趋向严重,2011 年 1 月决定着手整治。经调研,该厂第一个月的污染度为 60,整治后前四个月的污染度如下表;月数 1 2 3 4 ……污染度 60 31 13 0 ……污染度为 0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式: ()204(1)fxx, 20(4)(13gx,2()30log1hx,其中 表示月数, )fh、 、 分别表示污染度.(参考数据: )7.3l,.(Ⅰ)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;(Ⅱ)如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过 60,若以比较合理的模拟函数预测,该厂最晚在何时开始进行再次整治?18.(本题满分 15 分)已知双曲线 : 的左焦点为 ,左准线 与 轴的交点是圆 的圆心,E214xyFlxC圆 恰好经过坐标原点 ,设 是圆 上任意一点.COGC(Ⅰ)求圆 的方程;(Ⅱ)若直线 与直线 交于点 ,且 为线段 的中点,求直线 被圆 所截得的弦长;FlTTG(Ⅲ)在平面上是否存在定点 ,使得对圆 上任意的点 有 ?若存在,求出点 的坐标;P12FPP若不存在,请说明理由.19.(本题满分 16 分)已知 xgexaxf ln)(],0,ln)( ,其中 e是自然常数, .aR(Ⅰ)当 1a时, 研究 的单调性与极值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:1()2f;(Ⅲ)是否存在实数 ,使 fx的最小值是 ,若存在,求出 a的值;若不存在,说明理由.320.(本题满分 16 分)设数列 的各项都为正数,其前 项和为 ,已知对任意 , 是nannS*Nn2nS2na和 的等比中项.(Ⅰ)证明:数列 为等差数列,并求数列 的通项公式;nana(Ⅱ)证明: ;1122nSS(Ⅲ)设集合 , ,且 ,若存在 ∈ ,使对满足 的一kmM{Z}150kmMmn切正整数 ,不等式 恒成立,试问:这样的正整数 共有多少个? n240nna泰兴市第三高级中学 2013届高三第二学期期初调研考试数学试题参考答案及评分标准一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 请直接将答案填在题中的横线上)1、 2、 充分不必要 3、 87 4、 5、 9 6、 7、 3,16433618、 2 9、 4 10、 77 11、 12、 13、 14、 n3224二、解答题(本大题共6小题,满分 90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.解:(Ⅰ)设 中角 的对边分别为 ,ABC△ 、 、 abc、 、则由 , , …………………………………2 分1sin2bc0cos2b可得 , …………………………………4 分ta. …………………………………6 分(,)π42∴ ,(Ⅱ) ……………8 分()f311cos(cos2in).…………10 分3sin2in2i()6, , 当 时, ………………12 分π4∵ , π56, ∴ π3有 . ………………………………14 分max()31.f16. ( Ⅰ )证明:连接 ,由题意可知点 为 的中点. 因为点 为 的中点.ACF1ACE1C在 中, .……………………………………………………………2分1EF又 面 , , .……………………6分BDB平EBD平(Ⅱ)当 时, . ………………………………………7分13DA1FDEB平四边形 为菱形,且 , .BC20A3AD四棱柱 为直四棱柱, 四边形 为矩形.11又 , ,13DA1D四边形 为正方形, ……………………10 分1B1FB在直四棱柱 中, , ,1CACD平ABC平1D四边形 为菱形, .A, .11D平 1,D平11平, ,又 , .…………………13 分FBFEAF, .…………14 分111,,EB平 1DEB平17. ( Ⅰ ) (2)40()26.7()30fgh …………3 分3,,2.5…………6 分由此可得 ()hx更接近实际值,所以用 ()x模拟比较合理. …………7 分(Ⅱ)因 20log在 4上是增函数,又因为 (16)0h ………12 分这说明第一次整治后有 16 个月的污染度不超过 60,故应在 2012 年 5 月起开始再次整治. ……………………………………………………14 分18.解:(Ⅰ)由双曲线 E: ,得 : , , .……2 分214xyl4x(,)C(,)F又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 . ……………………4 分2()16y(Ⅱ)由题意,设 ,代入 ,得 ,…………5 分(5,)Gy 5G所以 的斜率为 , 的方程为 .………………6 分F1kF()yx所以 到 的距离为 , ……………………………………7 分(4,0)C52d直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 ……………………………9 分16()7(Ⅲ)设 P(s,t),G(x0,y0),则由 ,得|2FP2006)1((xyst整理得 3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11 分又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4)2+y2=16 上,所以 x02+y02+8x0=0 ②②代入①,得(2s+24)x 0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13 分又由 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知, …………………………14 分2401st解得:s= -12, t=0. …………………………………………………………………15 分所以在平面上存在一定点 P,其坐标为( -12,0) . ……………………………16 分19.解:(Ⅰ) xfln)(, xf)( ……1 分∴当 10x时, /0,此时 单调递减当 e时, ()f,此时 ()f单调递增 …………3 分 ∴ ()f的极小值为 1 ……4 分(Ⅱ) 的极小值为 1,即 x在 ],0e上的最小值为 1,∴ 0x, min()f……5 分令 2l)(xgh, , …………6 分2/ln1)(h当 e时, 0)(h, 在 ],e上单调递增 ………7 分∴ minmax |)(|1)( xf ………9 分∴在(1)的条件下, ()2fxg……………………………10 分(Ⅲ)假设存在实数 ,使 al( ],0(e)有最小值 3,/1()fxax① 当 0时, ,所以 , 所以 )(xf在 ],上单调递减,e,)(/f3)()(minff, ea4(舍去) ,所以,此时 x无最小值. ……12 分 ②当 ea10时, )(f在 1,0上单调递减,在 ],1(ea上单调递增3ln)(minaf, 2e,满足条件. ……14 分③ 当 e时, ,所以 ,ex,)(/xf所以 )(f在 ],0上单调递减, 31minaef, e4(舍去) ,所以,此时 )(f无最小值. ……15 分综上,存在实数 2ea,使得当 ],0(ex时 ()fx有最小值 3 .……16 分20.解:(Ⅰ)由已知, ,且 . …………………………………1 分nnaS240当
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