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1、第一、二节 复变函数的导数 解析函数,一、复变函数的导数与微分,二、函数在一点可导的充要条件,三、解析函数的概念,2,一、复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,3,在定义中应注意:,4,例1,解,5,例2,解,6,7,2.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,8,证毕,9,3.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,求
2、导公式与法则:,10,11,4.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义,12,特别地,13,二、函数在一点可导的充要条件,定理一,柯西介绍,黎曼介绍,14,证,(1) 必要性.,15,16,(2) 充分性.,由于,有界,无穷小,19,证毕,20,三、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,21,2. 奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,22,例3,解,由本节例1和例2知:,23
3、,24,25,例4,解,呢？,是函数的奇点，,其他点处解析,26,定理,以上定理的证明, 可利用求导法则.,27,根据定理可知:,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,28,29,解析函数的判定方法:,30,四、典型例题,解,不满足柯西黎曼方程,四个偏导数均连续,指数函数,32,四个偏导数均连续,由C-R方程,即,解得,例6,解,34,例7,证,35,参照以上例题可进一步证明:,36,例8,证,根据隐函数求导法则,37,根据柯西黎曼方程得,38,五、小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.,注意: 复变函数的导数定义与一元实变函
4、数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.,39,思考题,40,思考题答案,反之不对.,放映结束，按Esc退出.,41,例2,证,其它例子,42,43,例4,证,44,45,例5,解,46,课堂练习,答案,47,例8,证,48,49,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,50,Riemann,黎曼资料,Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy,作业:习题二 56页: 3(2) 4,作业:习题二 新书50页: 3(2) 4,
